gelegentlich auch modulare Funktion genannt, eine in der oberen Halbebene \({\mathcal{H}}\) ={ z ∈ ℂ : Im z > 0 } meromorphe Funktionf derart, daß eine Untergruppe \({\mathcal{G}}\) der Modulgruppe Γ existiert mit f(M(z)) = f(z) für alle \({z \in \mathcal{H}}\) und alle \({M \in \mathcal{G}}\).

Offensichtlich ist jede konstante Funktion eine Modulfunktion. Es ist nicht ganz einfach, eine nichtkonstante Modulfunktion zu konstruieren. Dies wird im folgenden an einem der wichtigsten Beispiele demonstriert. Man startet mit dem Gebiet\begin{eqnarray}{\Delta }_{0}\,:\,=\,\{z\,\in \, {\mathcal H} \,:\,0\,\lt \,\text{Re}\,z\,\lt \,1,\,|z\,-\,\frac{1}{2}|\,\gt \,\frac{1}{2}\}\,.\end{eqnarray}

Dies ist ein sog. Kreisbogendreieck mit den Ecken 0, 1 und ∞. Dieses Dreieck wird an seinen drei Seiten gespiegelt, wodurch die Kreisbogendreiecke Δ₁₁, Δ₁₂ und Δ₁₃ entstehen. Nun wird jedes dieser Dreiecke an den beiden Seiten, die nicht auch Seiten von Δ₀ sind, gespiegelt. Hierdurch entstehen sechs weitere Dreiecke. So fährt man fort. Vereinigt man alle entstehenden Dreiecke und nimmt noch deren Seiten ohne die Punkte auf der reellen Achse hinzu, so erhält man die gesamte obere Halbebene \({\mathcal{H}}\). Insgesamt entsteht also eine „Pflasterung“ von \({\mathcal{H}}\), die man auch Modulnetz nennt.

Ähnlich wie bei der vollen Modulgruppe existiert auch ein Fundamentalbereich von Γ₀. Dieser wird gegeben durch die Menge \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{ {\mathcal F} }_{0}\,=\,{\Delta }_{0}\,\cup \\ \,\{z\,\in \mathcal{H}\,:\,-1\,\le \,\text{Re}\,z\,\le \,0,\,|z\,+\,\frac{1}{2}|\,\gt \,\frac{1}{2}\}\,.\end{array}\end{eqnarray}

Dann gilt \begin{eqnarray}\mathcal{H}\,=\,\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{M\in {\Gamma }_{0}}M({ {\mathcal F} }_{0})\end{eqnarray}

und M(\({\mathcal{F}}\)₀) ∩ N(\({\mathcal{F}}\)₀) = ∅ für alle M, N ∈ Γ₀ mit M ≠ N. Weiter ist die Menge { M(0) : M ∈ Γ₀ } dicht in ℝ.

Man nennt λ auch die Modulfunktion. Weitere wichtige Eigenschaften von λ sind:

• Es gilt λ′(z) ≠ 0 für alle \({z \in \mathcal{H}}\).
• Es gilt λ(\({\mathcal{H}}\)) = ℂ_0,1 := ℂ \{0, 1}.
• Es ist \({\mathcal{H}}\) das Holomorphiegebiet von λ.
• Es ist λ: \({\mathcal{H}}\) → ℂ_0,1 eine Überlagerungsabbildung, d. h. zu jedem w₀ ∈ ℂ_0,1 gibt es eine offene Umgebung U ⊂ ℂ_0,1 von w₀ derart, daß jede Zusammenhangskomponente des Urbilds λ⁻¹(U) ⊂ \({\mathcal{H}}\) durch λ konform auf U abgebildet wird.

Mit Hilfe der Modulfunktion λ kann ein sehr eleganter Beweis des großen Satzes von Picard geführt werden.

Mit dem oben beschriebenen Spiegelungsverfahren kann man ebenfalls Modulfunktionen bezüglich der vollen Modulgruppe Γ konstruieren. Hierdurch erhält man z. B. die sog. J-Funktion mit folgenden Eigenschaften:

• Es ist J eine in \({\mathcal{H}}\) holomorphe Funktion mit J(\({\mathcal{H}}\)) = ℂ.
• Das Kreisbogendreieck \begin{eqnarray}{\Delta }^\prime\,:\,=\,\{z\,\in \,\mathca{H}\,:\,-\frac{1}{2}\,\lt \,\text{Re}\,z\,\lt \,0,\,|z|\,\gt \,1\}\end{eqnarray} wird durch J konform auf \({\mathcal{H}}\) abgebildet.
• Es gilt J(∞) = ∞, J(ϱ) = 0 und J(i) = 1, wobei ϱ derjenige Randpunkt von Δ′ mit \(\text{Re}\,\varrho \,=\,-\frac{1}{2}\) und |ϱ|= 1 ist.

Die J-Funktion ist über die Gleichung \begin{eqnarray}J\,=\,\frac{4}{27}\,\frac{{({\lambda}^{2}\,-\,\lambda\,+\,1)}^{3}}{{\lambda}^{2}{(\lambda\,-\,1)}^{2}}\end{eqnarray} mit der Modulfunktion λ verknüpft.

Eine weitere wichtige Modulfunktion bezüglich Γ ist die j-Funktion. Für sie gilt \begin{eqnarray}j(z)\,=\,27(1\,-\,J(z)),\,\,\,\,z\,\in \,\mathcal{H}.\end{eqnarray}

Durch j wird das Kreisbogendreieck \begin{eqnarray}\Delta \,:\,=\,\{z\,\in \,\mathfrak{H}\,:\,0\,\lt \,\text{Re}\,z\,\lt \,\frac{1}{2},\,\,|z|\,\gt \,1\}\end{eqnarray}

konform auf \({\mathcal{H}}\) abgebildet, und es gilt j(∞) = ∞, j(i) = 0 und j(−ϱ²) = 27. Offensichtlich ist die Menge aller Modulfunktionen bezüglich der vollen Modulgruppe Γ ein Körper, den man mit K(Γ) bezeichnet, und der den Körper ℂ der komplexen Zahlen als Unterkörper enthält. Genauer gilt K(Γ) = ℂ(j), d. h. zu jeder Modulfunktion f ∈ K(Γ) existiert eine rationale Funktion R mit f = R ∘ j.

Die Theorie der Modulfunktionen kann in gewissem Sinne als Erweiterung der Theorie der elliptischen Funktionen aufgefaßt werden, wobei die Rolle des Periodenparallelogramms von dem Modulnetz übernommen wird. Die oben behandelten Modulfunktionen können auch mit Hilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion definiert werden.