eine Abbildung \(T:\hat{{\mathbb{C}}}\to \hat{{\mathbb{C}}}\) der Form

\begin{eqnarray}T(z)=\displaystyle\frac{az+b}{cz+d},\end{eqnarray}

wobei a, b, c, d ∈ ℂ und ad − bc ≠ 0. Dabei wird gesetzt \(T(\infty )={\displaystyle \frac{a}{c}}\) und \(T(-{\displaystyle \frac{d}{c}})=\infty \), sofern c ≠ 0, und für c = 0 ist T(∞) = ∞. Manche Autoren nennen T auch eine lineare Transformation, wobei dies nicht mit einer linearen Abbildung im Sinne der Linearen Algebra zu verwechseln ist. Ist speziell T(z) = z + b bzw. T(z) = az (a ≠ 0) bzw. T(z) = e^iϑ z bzw. \(T(z)={\displaystyle \frac{1}{z}}\), so heißt T eine Translation (oder Verschiebung) bzw. Dilatation (oder Drehstreckung) bzw. Rotation (oder Drehung) bzw. Inversion (oder Stürzung).

Jede Möbius-Transformation T ist eine bijektive meromorphe Funktion von \(\hat{{\mathbb{C}}}\) auf sich. Die Umkehrfunktion T^{− 1} von T wird gegeben durch

\begin{eqnarray}{T}^{-1}(z)=\displaystyle\frac{dz+b}{-cz+a}.\end{eqnarray}

Sind S und T Möbius-Transformationen, so auch S ◦ T. Daher ist die Menge ℳ aller Möbius-Transformationen eine Gruppe bezüglich der Komposition ◦ von Abbildungen. Jede Möbius-Transformation kann als Komposition von Translationen, Dilatationen und einer Inversion dargestellt werden.

Bezeichnet GL(2, ℂ) die Gruppe aller invertierbaren (2 × 2)-Matrizen komplexer Zahlen, so wird jeder Matrix

\begin{eqnarray}A=\left(\begin{array}{ll}a & b\\ c & d\end{array}\right)\in GL(2,{\mathbb{C}})\end{eqnarray}

durch

\begin{eqnarray}{T}_{A}(z)=\displaystyle\frac{az+b}{cz+d}\end{eqnarray}

eine Möbius-Transformation zugeordnet. Die hierdurch definierte Abbildung ϕ : GL(2, ℂ) → ℳ ist ein Gruppenepimorphismus, d. h. für A, B ∈ GL(2, ℂ) gilt T_AB = T_A◦T_B, und ϕ ist surjektiv. Es gilt T_A = T_B genau dann, wenn ein α ∈ ℂ^∗ = ℂ \{0} existiert mit A = αB. Ist SL(2, ℂ) die Gruppe aller Matrizen A ∈ GL(2, ℂ) mit det A = 1, so liefert die eingeschränkte Abbildung ϕ : SL(2, ℂ) → M eben-falls einen Gruppenepimorphismus, dessen Kern aus den beiden Matrizen ± I besteht, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet.

Eine wichtige Rolle spielen die Fixpunkte einer Möbius-Transformation T. Ist T(z) ≢ z, so besitzt T einen oder zwei Fixpunkte in \(\hat{{\mathbb{C}}}\). Die Möbius-Transformationen werden nach ihrem Verhalten in den Fixpunkten eingeteilt. Dazu sei

\begin{eqnarray}T(z)=\displaystyle\frac{az+b}{cz+d}\end{eqnarray}

mit ad − bc = 1. Besitzt T genau einen Fixpunkt z₀, so heißt T parabolisch. Ist z₀ = ∞, so hat T die Form T(z) = z + β mit einem β ∈ C^∗. Für z₀ ≠ ∞ setzt man

\begin{eqnarray}g(z):=\displaystyle\frac{1}{z-{z}_{0}}.\end{eqnarray}

Dann hat die Möbius-Transformation S = g◦T◦g⁻¹ den Fixpunkt ∞.

Nun besitze T genau zwei Fixpunkte z₁ und z₂. Ist z₁ =0 und z₂ = ∞, so hat T die Form T(z) = kz mit einem k ∈ C^∗ \{1}. Andernfalls wählt man eine Möbius-Transformation g mit g(z₁) = 0 und g(z₂) = ∞, zum Beispiel

\begin{eqnarray}\begin{array}{llll}g(z) & := & \displaystyle\frac{z-{z}_{1}}{z-{z}_{2}}, & \text{falls}\,{z}_{1},{z}_{2}\in {\mathbb{C}},\\ g(z) & := & z-{z}_{1}, & \text{falls}\,{z}_{1}\in {\mathbb{C}},\text{}{z}_{2}=\infty. \end{array}\end{eqnarray}

Dann hat S = g ◦ T ◦ g⁻¹ die Fixpunkte 0, ∞ und ist daher von der Form S(z) = kz. Man nennt T

• elliptisch, falls |k| = 1,
• hyperbolisch, falls k > 0,
• loxodromisch in allen anderen Fällen.

Ist T ∈ ℳ und sind z₁, z₂, \({z}_{3}\in \hat{{\mathbb{C}}}\) drei verschiedene Punkte, so ist T durch die Bildpunkte w₁ =T(z₁), w₂ = T(z₂), w₃ = T(z₃) eindeutig bestimmt. Im Spezialfall w₁ =1, w₂ = 0, w₃ = ∞ wird T gegeben durch

\begin{eqnarray}\begin{array}{llll}T(z) & = & \displaystyle\frac{z-{z}_{2}}{z-{z}_{3}}:\displaystyle\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{3}}, & \text{falls}\,{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}\in {\mathbb{C}}\\ T(z) & = & \displaystyle\frac{z-{z}_{2}}{z-{z}_{3}}, & \text{falls}\,{z}_{1}=\infty,\\ T(z) & = & \displaystyle\frac{{z}_{1}-{z}_{3}}{z-{z}_{3}}, & \text{falls}\,{z}_{2}=\infty,\\ T(z) & = & \displaystyle\frac{z-{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{3}}, & \text{falls}\,{z}_{3}=\infty. \end{array}\end{eqnarray}

Man nennt dann die komplexe Zahl

\begin{eqnarray}\text{Dv}(z,{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}):=T(z)\end{eqnarray}

das Doppelverhältnis der Punkte z, z₁, z₂, z₃. Eine wichtige Eigenschaft des Doppelverhältnisses ist die Invarianz unter einer Möbius-Transformation M, d. h. es gilt

\begin{eqnarray}\text{Dv}(M(z),M({z}_{1}),M({z}_{2}),M({z}_{3}))=\text{Dv}(z,{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}).\end{eqnarray}

Mit Hilfe des Doppelverhältnisses läßt sich leicht zeigen, daß zu je drei verschiedenen Punkten z₁, z₂, \({z}_{3}\in \hat{{\mathbb{C}}}\) und w₁, w₂, \({w}_{3}\in \hat{{\mathbb{C}}}\) stets genau eine Möbius-Transformation M mit w₁ = M(z₁), w₂ = M(z₂), w₃ = M(z₃) existiert. Setzt man nämlich T(z) := Dv (z, z₁, z₂, z₃) und S(z) := Dv (z, w₁, w₂, w₃), so hat M := S⁻¹ ◦ T die gewünschten Eigenschaften.

Eine wichtige Eigenschaft von Möbius-Transformationen ist die Kreisverwandtschaft. Diese erhält man aus der Tatsache, daß das Doppelverhältnis Dv (z₁, z₂, z₃, z₄) vier verschiedener Punkte z₁, z₂, z₃, \({z}_{4}\in \hat{{\mathbb{C}}}\) genau dann reell ist, wenn z₁, z₂, z₃, z₄ auf einer Kreislinie in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) liegen. Sind Γ und Γ^′ Kreislinien in \(\hat{{\mathbb{C}}}\), so existiert stets eine Möbius-Transformation T mit T(Γ) = Γ^′. Dabei kann T noch so gewählt werden, daß drei vorgegebene Punkte auf Γ auf drei vorgegebene Punkte auf Γ^′ abgebildet werden. Unter dieser Zusatzforderung ist dann T eindeutig bestimmt.

Es sei Γ eine Kreislinie in \(\hat{{\mathbb{C}}}\), und es seien z₁, z₂, z₃ ∈ Γ drei verschiedene Punkte. Die Punkte z, \(z* \in \hat{{\mathbb{C}}}\) heißen symmetrisch bezüglich Γ, falls

\begin{eqnarray}\text{Dv}(z*,{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3})=\overline{\text{Dv}(z,{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3})}.\end{eqnarray}

Man nennt z^∗ auch Spiegelpunkt von z bezüglich Γ. Die Definition ist unabhängig von der Wahl der Punkte z₁, z₂, z₃ ∈ Γ. Diese Symmetrieeigenschaft hat folgende geometrische Bedeutung. Ist Γ eine Gerade in ℂ, so haben z und z^∗ den gleichen Ab-stand zu Γ und liegen in verschiedenen Halbebenen von ℂ \ Γ. Außerdem steht die Verbindungsstrecke von z und z^∗ senkrecht auf Γ. Falls Γ eine Kreislinie in ℂ mit Mittelpunkt a ∈ ℂ und Radius r > 0 ist, so liegen z, z^∗ auf demselben Strahl von a nach ∞, und zwar in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von \(\hat{{\mathbb{C}}}/\Gamma \). Für die Abstände zu a gilt

\begin{eqnarray}|z-a||z* -a|={r}^{2}.\end{eqnarray}

Insbesondere ist a^∗ = ∞. Damit gilt folgendes Symmetrieprinzip. Sind Γ₁, Γ₂ Kreislinien in \(\hat{{\mathbb{C}}}\), T eine Möbius-Transformation mit T(Γ₁) = Γ₂ und z, z^∗ symmetrisch bezüglich Γ₁, so sind T(z), T(z^∗) symmetrisch bezüglich Γ₂.

Eine Orientierung einer Kreislinie Γ in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) ist ein geordnetes Tripel (z₁, z₂, z₃) von verschiedenen Punkten z₁, z₂, z₃ ∈ Γ. Dann wird die rechte Seite von Γ durch

\begin{eqnarray}{\Gamma }^{+}:=\{z\in \hat{{\mathbb{C}}}:\mathrm{Im}(\text{Dv}(z,{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}))\gt 0\}\end{eqnarray}

und die linke Seite von Γ durch

\begin{eqnarray}{\Gamma }^{-}:=\{z\in \hat{{\mathbb{C}}}:\mathrm{Im}(\text{Dv}(z,{z}_{1},{z}_{2},{z}_{3}))\lt 0\}\end{eqnarray}

definiert. Ist zum Beispiel Γ die reelle Achse und eine Orientierung von Γ gegeben durch (1, 0, ∞) (d. h. die reelle Achse wird sozusagen von rechts nach links durchlaufen), so ist Γ⁺ ={ z ∈ ℂ : Im z> 0 } und Γ⁻ ={ z ∈ ℂ : Im z< 0 }. Damit gilt folgendes Orientierungsprinzip. Sind Γ₁, Γ₂ Kreislinien in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) und T eine Möbius-Transformation mit T(Γ₁) = Γ₂ so bildet T die rechte bzw. linke Seite von Γ₁ bezüglich einer Orientierung (z₁, z₂, z₃) auf die rechte bzw. linke Seite von Γ₂ bezüglich der Orientierung (T(z₁), T(z₂), T(z₃)) ab.

Für weitere Information zu diesem Themenkreis vergleiche auch Möbius-Geometrie.