Lexikon der Mathematik: Monodromiedarstellung
fundamentaler Begriff in der Theorie der Singularitäten.
Sei Y eine analytische Varietät der Dimension n + k, reindimensional, in einer offenen Menge U ⊂ ℂN. Weiter sei O ∈ Y und F = F1,…, Fk U → ℂk eine holomorphe Abbildung mit F (O) = 0. Es sei fi := Fi |Y und f := F |Y, und O sei der einzige singuläre Punkt von X := f−1(0). (Oft ist Y = U und k = 1).
Sei jetzt r : U → [0, ∞) eine reell-analytische Funktion, die O in X definiert. Es sei ε > 0 so gewählt, daß
kompakt ist, und r |X0<r≤ε keine kritischen Punkte besitzt ( Xr<ε, Xr=ε, X0<r<ε etc. seien analog zu Xr≤ε definiert). Dann existiert eine offene Umgebung S von O in ℂk so, daß
submersiv ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei S zusammenziehbar. Es gelten die folgenden Notationen:
wobei 𝔛 offen in f−1 (S) ist, und \(\bar{{\mathfrak{X}}}\) bzw. \(\partial \bar{{\mathfrak{X}}}\) der Abschluß bzw. der Rand in f−1 (S) sind. Weiter sei Cf die Menge der kritischen Punkte von f. Für s ∈ S setzt man
Ebenso sei für eine Menge A ⊂ S
Df := f (Cf) heißt die Diskriminante von f. f : 𝔛 → S heißt ein guter Repräsentant, \(f:\bar{{\mathfrak{X}}}\to S\) heißt ein guter eigentlicher Repräsentant. Zudem sei 𝔛sing die Menge der singulären Punkte von 𝔛 und 𝔛reg := 𝔛 − 𝔛sing. Natürlich ist 𝔛sing ⊂ Cf.
Die Fasern Xs (bzw. \({\bar{X}}_{s}\)) für s ∈ S − Df heißen (kompakte) Milnorfasern von f.
heißt die Milnorfaserung von f. Wie schon der Umgebungsrand Xr=ε nicht von r abhängt, sind die Milnorfasern für verschiedene gute Repräsentanten f diffeomorph.
Es sei \(f:\bar{{\mathfrak{X}}}\to s\) ein guter eigentlicher Repräsentant. Die Milnorfaserung \(f:({\bar{{\mathfrak{X}}}}_{S-{D}_{f}},\partial {\bar{{\mathfrak{X}}}}_{S-{D}_{f}})\to S-{D}_{f}\) soll nun genauer untersucht werden. Dieses Faserbündelpaar ist auf \(\partial {\bar{{\mathfrak{X}}}}_{S-{D}_{f}}\) trivial und auf \({\bar{{\mathfrak{X}}}}_{S-{D}_{f}}\) lokal trivial. Damit existieren
i) eine Trivialisierung \(\sigma:\partial {{\mathfrak{X}}}_{S-{D}_{f}}\to S-{D}_{f}\times \partial {\bar{X}}_{{s}_{0}}\), wobei \({\bar{X}}_{{s}_{0}}\) eine feste Faser über s0 ∈ S − Df ist, und
ii) für jedes s ∈ S − Df eine Umgebung Vs in S − Df und eine Trivialisierung
wobei i die von σ induzierte Abbildung \(i:\partial {\bar{X}}_{s}\to \partial {\bar{X}}_{{s}_{0}}\) ist.
Es sei nun s∗ ein fester Punkt in S − Df. Man betrachtet einen stetigen Weg γ : [0, 1] → S − Df mit γ (0) = γ (1) = s∗. Da [0, 1] kompakt ist, existiert eine Teilung 0 = t0< t1< … < tM = 1 von [0, 1] so, daß γ ([tk, tk+1]) ⊂ Vs(k) für ein s(k) ∈ S − Df, k = 0,…, M − 1.
Mit Hilfe der Trivialisierungen i) und ii) induziert damit γ einen Diffeomorphismus
t ∈ [0, 1], mit \(\sigma \circ {h}_{t}{|{}_{\partial {\bar{X}}_{s* }}=\sigma |}_{\partial {\bar{X}}_{\gamma (t)}}\) und H0 = 1. Insbesondere ist h1\(|{}_{\partial {\bar{X}}_{s* }}\,=\,1\). Im Sinne der Topologie ist damit h1 eine geometrische Monodromie. Es gilt: Die relative Isotopieklasse von \({h}_{1}:\,({\bar{X}}_{s* },\,\partial {\bar{X}}_{s* })\to ({\bar{X}}_{s* },\,\partial {\bar{X}}_{s* })\) hängt nur ab von der Homotopieklasse [γ ] von γ in π1 (S − Df, s∗).
Man nennt daher h1 (bzw. seine relative Isotopieklasse) die C∞-Monodromie von f entlang von γ.
Bezeichnet man weiter die Gruppe der relativen Isotopieklassen von C∞-Diffeomorphismen von \(({\bar{X}}_{s* },\,\partial {\bar{X}}_{s* })\) mit Iso∞\(({\bar{X}}_{s* },\,\partial {\bar{X}}_{s* })\), so erhält man einen Gruppenhomomorphismus
Man nennt ϱdiff die C∞-Monodromiedarstellung von π1 (S − Df, s∗.
Weiter induziert H1 einen Gruppenisomorphismus \({h}_{1}{}_{* }:\,{H}_{* }\,({\bar{X}}_{s* },\,\partial {\bar{X}}_{s* })\to {H}_{* }({\bar{X}}_{s* },\,\partial {\bar{X}}_{s* })\) (Die Koeffizienten der Homologie seien ganze Zahlen). So enthält man entsprechend Homomorphismen
Diese nennt man die algebraische Monodromiedarstellung von π1 (Sp − Dp, s∗).
Siehe auch Monodromie.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.