Operation des Aufblasens eines einzelnen singulären Punktes.

Bei der Auflösung von einfachen zweidimensionalen Hyperflächensingularitäten werden die singulären Punkte aufgeblasen, um dann eine glatte Mannigfaltigkeit zu erhalten. (Die umgekehrte Operation bezeichnet man als Niederblasen.)

Sei X eine analytische Varietät mit isolierter Singularität in Null. Eine Auflösung von (X, 0) ist eine eigentliche (d. h. Urbilder kompakter Mengen sind kompakt) holomorphe Abbildung π : M → X, wobei gilt:

Man nennt E := π⁻¹(0) den exzeptionellen Divisor. Nach Hironaka gibt es stets solche Auflösungen. Oft hat man die Situation, daß X eine analytische Untervarietät von Y ist. Eine Auflösung π : M → Y nennt man eine eingebettete Auflösung von X, wenn die strikte Transformierte \(\overline{{\pi }^{-1}(X-\{0\})}\) eine glatte analytische Mannigfaltigkeit ist.

Es soll nun konkret ein Prozeß angegeben werden, der zu einer eingebetteten Auflösung der Kurvensingularitäten in ℂ² führt. Die Singularität der Kurve X sei im Punkt Null.

1. Schritt. Aufblasen von 0 in ℂ²:

Es sei ℙ₁ der Raum der Geraden in ℂ², die durch den Nullpunkt gehen. Sei \begin{eqnarray}M:=\{(p,l)\in {{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{2}\times {{\rm{{\mathbb{P}}}}}_{1}/p\in l\}\end{eqnarray}

und π : M → ℂ², (p, l) ↦ p. Damit dies eine Auflösung von (ℂ², 0) ist, müssen die Punkte i)–iii) gezeigt werden.

Es gilt π⁻¹(0) = ℙ₁, und M − π⁻¹(0) → ℂ² − {0} ist nach dem Satz über implizite Funktionen biholomorph. Ferner zeigt man, daß M eine analytische Mannigfaltigkeit ist, die durch zwei Karten in ℂ² überdeckt wird. Es kann aber noch nicht garantiert werden, daß das strikte Urbild von X ⊂ ℂ² glatt ist. Dieses Manko wird durch iteratives Aufblasen behoben:

2. Schritt. Aufblasen eines Punktes p in M:

Man wählt eine Koordinatenumgebung V von p in M. Die zugehörige Karte sei ψ : U ⊂ ℂ² → V mit ψ(0) = p. Wie in Schritt 1 bläst man 0 in U auf und erhält eine Mannigfaltigkeit \(\tilde{U}\): \begin{eqnarray}\pi :\tilde{U}\to U.\end{eqnarray}

\(\tilde{\pi }:=\psi \circ \pi :\tilde{U}\to V\,\,\text{mit}\,\,\,\tilde{\pi }{|}_{\tilde{U}-{\tilde{\pi }}^{-1}(p)}\) ist biholomorph

Die neue Mannigfaltigkeit \(\tilde{M}\) entsteht nun aus der Verklebung von M − {p} und \(\tilde{U}\). Diese Konstruktion ist unabhängig von der Wahl der Koordinaten von M, also hat man den Punkt p in M aufgeblasen. Es gilt der folgende Satz:

Durch iteriertes Aufblasen (wie in Schritt 1 und Schritt 2 beschrieben) in singulären Punkten des strikten Urbildes (bzw. von Punkten, in denen das strikte Urbild nicht transversal zur exzeptionellen Menge ist) erhält man für jede isolierte Kurvensingularität (X, 0) ∈ (ℂ², 0) eine holomorphe Abbildung π : M_X → ℂ²so, daß\begin{eqnarray}\pi :{M}_{X}-{\pi }^{-1}(0)\to {{\mathbb{C}}}^{2}-\{0\}\end{eqnarray}

biholomorph und π⁻¹(X) ein Divisor mit transversalen Kreuzungen ist.

Das strikte Urbild von X ist damit glatt, also liefert das Verfahren eine Auflösung von X. Siehe hierzu auch Aufblasung.

[1] Bättig, D., Knörrer, H.: Singularitäten. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin, 1991.