Lexikon der Mathematik: Monotonie von Funktionen
gleichförmiges Wachstumsverhalten von Funktionen. Eine Funktion f : D → M von einer Halbordnung (D, ≤) in eine Halbordnung (M, ≤) heißt
- monoton wachsend oder isoton genau dann, wenn f(x) ≤ f(y) für alle x, y ∈ D mit x< y,
- monoton fallend oder antiton genau dann, wenn f(x) ≥ f(y) für alle x, y ∈ D mit x< y,
- streng monoton wachsend oder streng isoton genau dann, wenn f(x) < f(y) für alle x, y ∈ D mit x< y,
- streng monoton fallend oder streng antiton genau dann, wenn f(x) >f(y) für alle x, y ∈ D mit x >y.
Gelegentlich sagt man auch „(streng) monoton steigend“ anstelle von „(streng) monoton wachsend“.
Ist D ⊂ ℝ und f : D → ℝ, und bezeichnet Qf den Differenzenquotienten zu f, so ist f genau dann isoton bzw. antiton bzw. streng isoton bzw. streng antiton, wenn Qf ≥ 0 bzw. Qf ≤ 0 bzw. Qf > 0 bzw. Qf< 0 gilt. Falls Qf sowohl positive als auch negative Werte annimmt, ist f also nicht monoton.
Es sei I ⊂ ℝ ein Intervall. Ist f : I → ℝ injektiv und stetig, so ist f monoton. Es sei I offen und f : I → ℝ differenzierbar. Dann ist f genau dann isoton bzw. antiton, wenn f ′ ≥ 0 bzw. f ′ ≤ 0 gilt (Monotoniekriterium). Hat man f ′ > 0 bzw. f ′ < 0, so ist f streng isoton bzw. streng antiton, doch gilt die Umkehrung hiervon nicht, wie das Beispiel f(x) = x3 zeigt.
Eine Funktion muß in keinem Teilintervall ihres Definitionsbereichs monoton sein, wie etwa die Dirichletsche Sprungfunktion zeigt. Für eine an der Stelle a differenzierbare Funktion f folgt zwar etwa aus f ′(a) > 0, daß f an der Stelle a streng wächst (lokales Wachstumsverhalten), d. h. daß es ein ε > 0 so gibt, daß f(x) < f(a) für x ∈ (a − ε, a) gilt und f(a) < f(x) für x ∈ (a, a + ε), doch auch dann muß f in keiner Umgebung von a monoton sein. Beispielsweise ist die in Abbildung 1 gezeigte Funktion f : ℝ → ℝ mit
differenzierbar an der Stelle 0 mit f ′(0) = 1, doch in keiner Umgebung von 0 monoton (und in ℝ \{0} nicht einmal stetig).
Selbst die Bedingung f ′(a) ≠ 0 und die Differenzierbarkeit in einer ganzen Umgebung von a ist nicht hinreichend für die Monotonie in einer Umgebung von a, wie man etwa an f : ℝ → ℝ mit
Monotonie von Funktionen: Abbildung 1 
Monotonie von Funktionen: Abbildung 2
Andererseits gibt es stetige monotone Funktionen, die nur an isolierten Stellen nicht differenzierbar sind (nicht einmal einseitig). So ist z. B. die Funktion f : ℝ → ℝ mit
streng isoton, stetig und in ℝ \{0} differenzierbar, jedoch nicht einmal einseitig differenzierbar an der Stelle 0, weil es in jeder (auch einseitigen) Umgebung von 0 Stellen \(x\,\ne \,0\,\text{mit}\,{{\mathcal{Q}}}_{f}(0\text{,}\,x)\,=\,\frac{2}{3}\) und Stellen \(x\,\ne \,0\,\text{mit}\,{{\mathcal{Q}}}_{f}(0\text{,}\,x)\,=\,\frac{4}{3}\) gibt (Abbildung 3).
Monotonie von Funktionen: Abbildung 3 
Ferner gibt es sogar streng monotone stetige Funktionen mit fast überall verschwindender Ableitung.
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