eine natürliche Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten.

Es bezeichne \(\left(\begin{array}{c}n\\ {k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{r}\end{array}\right)\) die Anzahl der Abbildungen f : N = {1, 2,..., n} → R = {b₁, b₂,… b_r} mit f⁻¹ (b_i) = k_i für 1 ≤ i ≤ n.

Dann heißen die Zahlen

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}n\\ {k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{r}\end{array}\right)\end{eqnarray}

Multinomialkoeffizienten.

Es gilt ebenfalls die folgende explizite Darstellung:

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}n\\ {k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{r}\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n!}{{k}_{1}!{k}_{2}!\ldots {k}_{r}!} & \text{falls}\quad n=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{r}{k}_{i}\\ 0 & \text{sonst}.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Die Multinomialkoeffizienten treten im folgenden Multinomialsatz auf, woher auch ihr Name stammt.

Sei R ein kommutativer Ring. Dann gilt für a₁, a₂, …, a_r aus R:

\begin{eqnarray}\begin{array}{l}{({a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{a}_{r})}^{n}\\ \quad =\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}{k}_{1},{k}_{2},\ldots ,{k}_{r}\ge 0\\ {\rm{\Sigma }}{k}_{i}=n\end{array}}\left(\begin{array}{c}n\\ {k}_{1}{k}_{2}\ldots {k}_{r}\end{array}\right){a}_{1}^{{k}_{1}}{a}_{2}^{{k}_{2}}\ldots {a}_{r}^{{k}_{r}}.\end{array}\end{eqnarray}