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Lexikon der Mathematik: Multinomialverteilung

Polynomialverteilung, mehrdimensionale diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Ist n eine natürliche Zahl und sind p1, …, pk, k ≥ 2, positive reelle Zahlen mit \(\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k}{p}_{i}=1\), so heißt das durch

\begin{eqnarray}P(\{({n}_{1},\ldots ,{n}_{k})\})=\left(\begin{array}{c}n\\ {n}_{1},\ldots ,{n}_{k}\end{array}\right){p}_{1}^{{n}_{1}}\cdot \ldots \cdot {p}_{k}^{{n}_{k}}\end{eqnarray}

für alle \(({n}_{1},\ldots ,{n}_{k})\in {{\mathbb{N}}}_{0}^{k}\) mit \(\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k}{n}_{i}=n\) eindeutig festgelegte und oft mit \({\mathcal{M}}(n,{p}_{1},\ldots ,{p}_{k})\) bezeichnete Wahrscheinlichkeitsmaß P die Multinomialverteilung mit den Parametern n und p1, …, pk. Hier bezeichnet der Ausdruck

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}n\\ {n}_{1},\ldots ,{n}_{k}\end{array}\right)\end{eqnarray}

den Multinomialkoeffizienten.

Ist X = (X1, …, Xk) ein mit den Parametern n und p1, …, pk multinomialverteilter zufälliger Vektor, so sind die Erwartungswerte seiner Komponenten für i = 1, …, k durch E(Xi) = npi gegeben. Für die Elemente der Kovarianzmatrix Cov(X) = (Cov(Xi, Xj))i,j=1,… ,k gilt

\begin{eqnarray}Cov({X}_{i},{X}_{j})=\left\{\begin{array}{rr}n{p}_{i}(1-{p}_{i}), & i=j,\\ -n{p}_{i}{p}_{j}, & i\ne j.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Der Wert P({n1, …, nk}) der Multinomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß bei n unabhängigen Wiederholungen eines Experimentes mit k möglichen Ausgängen genau n1-mal der erste, n2 -mal der zweite Ausgang, usw. realisiert wird.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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