Lexikon der Mathematik: Multiplikation von Funktionen
die für eine nichtleere Menge ℜ auf dem Raum \({\mathfrak{F}}:={\mathfrak{F}}(\Re )\) der reelloder komplexwertigen Funktionen durch
\begin{eqnarray}(f\cdot g)(x):=f(x)g(x)\quad\quad (x\in \Re )\quad\quad (f,g\in {\mathfrak{F}})\end{eqnarray}
erklärte Abbildung \(\because {\mathfrak{F}}\times {\mathfrak{F}}\to {\mathfrak{F}}\). Die Produktfunktion f · g ist also die Funktion, die an jeder Stelle \(x\in \Re \) das Produkt der Werte f(x) und g(x) annimmt. Da Zahlenfolgen auf ℕ definierte ℝ- oder ℂ-wertige Funktionen sind, ist die Multiplikation solcher Folgen Spezialfall der Multiplikation von Funktionen. Natürlich stellt sich oft die Frage, welche Eigenschaften sich von den Faktoren f und g auf die Produktfunktion übertragen. Dazu seien beispielhaft genannt: Das Produkt zweier beschränkter Funktionen ist beschränkt. Ist ℜ ein topologischer Raum, so ist das Produkt zweier stetiger Funktionen stetig. Ist ℜ ein normierter Vektorraum, so ist das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen differenzierbar. Das Produkt zweier integrierbarer Funktionen ist integrierbar, wenn man sich auf das eigentliche Riemann-Integral bezieht. Hingegen gilt dies nicht für das uneigentliche Riemann-Integral und nicht für das Lebesgue-Integral.Eine Multiplikation läßt sich ebenso allgemeiner erklären für beliebige Funktionen, in deren gemeinsamen Zielbereich eine Multiplikation gegeben ist, wie z. B. in einer Halbgruppe (H, ·). Natürlich können noch allgemeinere Situationen betrachtet werden, so etwa mit drei Mengen \({{\mathfrak{B}}}_{v}\) und einer verbindenden Abbildung
\begin{eqnarray}\omega :{{\mathfrak{B}}}_{1}\times {{\mathfrak{B}}}_{2}\to {{\mathfrak{B}}}_{3}\end{eqnarray}
für Funktionen \(f:\Re \to {{\mathfrak{B}}}_{1}\) und \(g:\Re \to {{\mathfrak{B}}}_{2}\) durch\begin{eqnarray}(f\cdot g)(x):=\omega (f(x),g(x))\quad\quad (x\in \Re ).\end{eqnarray}
Speziell findet man das oft für Vektorräume \({{\mathfrak{B}}}_{v}\) und bilineares ω.
Vereinzelt spricht man auch bei anderen Verbindungen zweier Funktionen von Multiplikation, so etwa bei der Hintereinanderausführung und der Faltung.
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