Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Ist S ein Cartierdivisor einer glatten algebraischen VarietätX und p ∈ S ein Punkt, so ist die Multiplizität von S in p definiert als die Ordnung, mit der die Gleichung f, die S in einer Umgebung von p definiert, verschwindet, also die Zahl m mit \(f\in {{\mathfrak{m}}}_{X,\quad p}^{m}\), \(f\notin {{\mathfrak{m}}}_{X,\quad p}^{m+1}\). Die Taylorentwicklung von f im Punkt p beginnt also mit Termen der Ordnung m.

Dieser Begriff besitzt verschiedene Verallgemeinerungen. Eine allgemeine Definition ist die etwa folgende: Sei A ein d-dimensionaler lokaler Ring, M ein endlich erzeugter A-Modul, und \({\mathfrak{q}}\subset A\) ein Ideal mit \(l(A/{\mathfrak{q}})\lt \infty \) (l(M) ist die Länge von Kompositionsreihen von M mit Faktoren isomorph zu \(A/{{\mathfrak{m}}}_{A}\) bzw. ∞, falls es keine solche Kompositionsreihe gibt). Dann ist die Multiplizität von M bez. \({\mathfrak{q}}\) definiert als die Zahl

\begin{eqnarray}e({\mathfrak{q}},M)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{d!l(M/{{\mathfrak{q}}}^{n}M)}{{n}^{d}}.\end{eqnarray}