Gleichungssystem der Form κ_α (s) = κ(s), τ_α (s) = τ(s), worin κ(s) > 0 und τ(s) vorgegebene differenzierbare Funktionen der reellen Variablen s sind, und κ_α und τ_α Krümmung und Windung einer zu bestimmenden Kurve α.

Nach dem Fundamentalsatz der Kurventheorie existiert immer eine derartige Kurve. Ähnliches gilt für die natürlichen Gleichungen von ebenen Kurven oder von Kurven im n-dimensionalen Raum ℝⁿ, wo man die Kurve über ihre n − 1 Krümmungen definiert.

Die natürlichen Gleichungen im ℝ³ lassen sich auf eine komplexe Riccati-Gleichung zurückführen. Dazu seien l(s), m(s) und n(s) die ersten Komponenten der Vektoren \({\mathfrak{t}}(s)\), \({\mathfrak{n}}(s)\) bzw. \({\mathfrak{b}}(s)\) des begleitenden Dreibeins. Diese drei Funktionen erfüllen das Differentialgleichungssystem

\begin{eqnarray}\begin{array}{lllll}{l}^{\text{'}}(s) & = & & -\kappa (s)\quadm(s) & \\ {m}^{\text{'}}(s) & = & \kappa (s)\quadl(s) & & -\tau (s)\quadn(s)\\ {n}^{\text{'}}(s) & = & & \tau (s)\quadm(s) & \end{array}\end{eqnarray}

Da l² (s) + m²(s) + n²(s) = 1 ist, kann man diese Funktionen durch Polarkoordinaten l = sin ϑ cos φ, m = sin ϑ sin φ und n = cos ϑ ausdrücken. Darin sind ϑ(s) und φ(s) gewisse Funtionen der Bogenlänge s, für die man aus dem obigen Differentialgleichungssystem die Gleichungen ϑ′ = −τ sin φ und φ′ = κ − τ cot ϑ cos φ gewinnt. Führt man die komplexe Größe σ(s) = cot(v (s)/2) e^iφ(s) ein, so folgt aus den zuletzt gefundenen Differentialgleichungen die Riccati-Gleichung

\begin{eqnarray}{\sigma }^{\text{'}}=-\frac{i}{2}\tau {\sigma }^{2}+i\quad\kappa \quad\sigma +\frac{i}{2}\tau ,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\varphi =\text{Arg}(\sigma ),\quad\quad\quad\quad\vartheta =2\quad\text{arccot}\quad(|\sigma |).\end{eqnarray}