Lexikon der Mathematik: natürliche Randbedingung
eine Randbedingung bei Variationsproblemen, die sich auf natürliche Weise aus der Aufgabenstellung ergibt.
Es sei ein Variationsproblem der Form
\begin{eqnarray}I(y)=\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{{x}_{1}}{\int }}F(x,{y}^{\text{'}},{y}^{\prime\prime})\quaddx=\text{Max}!\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}I(y)=\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{{x}_{1}}{\int }}F(x,{y}^{\text{'}},{y}^{\prime\prime})\quaddx=\text{Min}!\end{eqnarray}
gegeben, wobei y nur am linken Rand durch y(x0) = y0 festgelegt, am rechten Rand aber frei ist. Durch partielle Integration folgt dann:\begin{eqnarray}g{F}_{{y}^{\text{'}}}{|}_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}+\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{{x}_{1}}{\int }}({F}_{y}-\frac{d}{dx}{F}_{{y}^{\text{'}}})g\quaddx=0,\end{eqnarray}
wobei g eine Funktion ist, so daß yϵ = y + ϵg in der betrachteten Funktionenklasse liegt, das heißt g ∈ C2[x0, x1] und g(x0) = 0. Neben der Euler-Gleichung \({F}_{y}-\frac{d}{dx}{F}_{{y}^{\text{'}}}=0\) muß dann auch \(g{F}_{{y}^{\text{'}}}{|}_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}=0\) gelten. Bei passender Wahl von g folgt daraus die natürliche Randbedingung am rechten Randpunkt x1 :\begin{eqnarray}{F}_{{y}^{\text{'}}}({x}_{1},y({x}_{1}),{y}^{\text{'}}({x}_{1}))=0,\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}{F}_{{y}^{\text{'}}}({x}_{0},y({x}_{0}),{y}^{\text{'}}({x}_{0}))=0.\end{eqnarray}
Sind beide Ränder frei, dann muß jede Lösung neben der Euler-Gleichung auch die beiden natürlichen Randbedingungen erfüllen.
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