ein Morphismus η : S → T von Funktoren.

Es seien \({\mathcal{C}}\) und \({\mathcal{D}}\) Kategorien und \(S,T:{\mathcal{C}}\to {\mathcal{D}}\) zwei Funktoren. Eine natürliche Transformation η ist gegeben durch die Vorgabe von \(Mo{r}_{{\mathcal{D}}}(S(A),T(A))\) für alle \(A\in Ob({\mathcal{C}})\) derart, daß das abgebildete Diagramm kommutiert.

Für alle Morphismen f : A → B in der Kategorie \({\mathcal{C}}\) gilt also T(f) ○ ηA = ηB ○ S(f).

Handelt es sich bei den Objekten um Mengen, so bedeutet dies anschaulich, daß es eine Möglichkeit gibt, für alle A den Elemente von S(A) in natürlicher Weise Elemente aus T(A) so zuzuordnen, daß die Zuordnung verträglich ist mit den Morphismen zwischen den Mengen A und B (bzw. mit den Morphismen, die unter den Funktorabbildungen entstehen).

Eine natürliche Transformation η : S → T, für welche die η_A für alle A invertierbare Morphismen sind, heißt natürliche Äquivalenz oder natürlicher Isomorphismus (zweier Funktoren). Dies wird auch η : S ≡ T geschrieben. Zwei Kategorien \({\mathcal{C}}\) und \({\mathcal{D}}\) heißen äquivalent, falls es ein Paar von Funktoren

\begin{eqnarray}S:{\mathcal{C}}\to {\mathcal{D}},\quad\quad\quad\quad\quad T:{\mathcal{D}}\to {\mathcal{C}}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{1}_{{\mathcal{C}}}\equiv T\circ S,\quad\quad\quad\quad\quad{1}_{{\mathcal{D}}}\equiv S\circ T\end{eqnarray}

Gilt sogar Gleichheit, also

\begin{eqnarray}{1}_{{\mathcal{C}}}=T\circ S,\quad\quad\quad\quad\quad{1}_{{\mathcal{D}}}=S\circ T,\end{eqnarray}

Die Äquivalenz von Kategorien ist ein wichtiges Konzept. Sie erlaubt es, Fragestellungen in einer Kategorie in eine eventuell besser behandelbare Kategorie zu transportieren und dort zu beantworten.