die Menge ℕ, die axiomatisch definiert werden kann als Menge mit ausgezeichnetem Element 1 ∈ ℕ und Nachfolgerfunktion, oder durch die Peano-Axiome, oder auf Grundlage der Mengenlehre als die Menge der Kardinalzahlen nicht-leerer endlicher Mengen, oder nach axiomatischer Einführung des Körpers ℝ der reellen Zahlen als kleinste induktive Teilmenge von ℝ. Bei der Rückführung auf Kardinalzahlen oder reelle Zahlen werden Addition + : ℕ × ℕ → ℕ, Multiplikation · : ℕ × ℕ → ℕ und die Ordnung auf ℕ von jenen geerbt. Bei der Definition als Menge mit ausgezeichnetem Element 1 ∈ ℕ und Nachfolgerfunktion N : ℕ → ℕ werden Addition und Multiplikation rekursiv definiert durch die Funktionalgleichungen

\begin{eqnarray}\begin{array}{rll}m+1 & := & N(m)\\ m+N(n) & := & N(m+n)\quad\quad\quad\quad\quad(n\in {\mathbb{N}})\end{array}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\begin{array}{rll}m\cdot 1 & := & m\\ m\cdot N(n) & := & (m\cdot n)+m\quad\quad\quad\quad\quad(n\in {\mathbb{N}})\end{array}\end{eqnarray}

für m ∈ ℕ, und man muß Assoziativität und Kommutativität von Addition und Multiplikation und das Distributivgesetz beweisen. Die Ordnung auf ℕ definiert man dann durch

\begin{eqnarray}m\lt n:\iff \exists k\in {\mathbb{N}}\quad\quad\quadm+k=n\end{eqnarray}

für m, n ∈ ℕ und damit auf die übliche Weise die Relationen >, ≤, ≥. Es gilt dann 1 ≤ n für alle n ∈ ℕ (Minimaleigenschaft der Eins). (ℕ, ≤) ist eine Wohlordnung. (ℕ, +, ≤) und (ℕ, ·, ≤) sind kommutative geordnete Halbgruppen mit Kürzungsregel, (ℕ, ·, 1) ist ein kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und (ℕ, +, ·) ein Halbring. Nimmt man die ganze Zahl 0 zu ℕ hinzu, so erhält man die nichtnegativen ganzen Zahlen ℕ₀ = ℕ ∪ {0}. (ℕ₀, +, 0) ist ein kommutatives Monoid mit Kürzungsregel, jedoch keine Gruppe, denn es gibt z. B. kein additives Inverses zu 1, d. h. kein x ∈ ℕ₀ mit 1 + x = 0. Die minimale Erweiterung von (ℕ₀, +) zu einer Gruppe führt zu den ganzen Zahlen. Dort gibt es das gesuchte x, nämlich x = −1. Man beachte: Manchmal wird ℕ auch so definiert, daß es o schon enthält. Dann ist ℕ gerade die Menge der endlichen Kardinalzahlen.

Natürliche Zahlen notiert man gewöhnlich unter Benutzung der Zeichen o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 im Stellenwertsystem zur Basis

\begin{eqnarray}10:=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1.\end{eqnarray}

Das Zeichen 1 steht dann gerade für die Eins 1 ∈ ℕ. Ferner gilt damit

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}2=1+1 & 5=4+1 & \quad\quad8=7+1\\ 3=2+1 & 6=5+1 & \quad\quad9=8+1\\ 4=3+1 & 7=6+1 & 10=9+1\end{array}\end{eqnarray}

und ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…}.