Bewegungsgleichungen aus der Hydromechanik.

Will man die Bewegung einer kompressiblen Flüssigkeit mathematisch beschreiben, so untersucht man im allgemeinen nach der Eulerschen Methode den von der Flüssigkeit eingenommenen Raum und berechnet den an jedem Ort und zu jeder Zeit herrschenden Strömungszustand. Bezeichnet man beispielsweise mit \({\mathfrak{v}}=(u,v,w)\) den Geschwindigkeitsvektor und mit p den Druck, die beide von den Raumkoordinaten (x, y, z) sowie der Zeit t abhängen, so besteht die Aufgabe darin, die Abhängigkeit der Größen o und p von x, y, z, t zu bestimmen. Ist nun K = (X, Y, Z) der Vektor der auf die Masseneinheit bezogenen Massenkraft und ϱ die Dichte, so gilt die Navier-Stokes-Gleichung du

\begin{eqnarray}\begin{array}{l}\varrho \frac{du}{dt}=\varrho X-\frac{\partial p}{\partial x}+2\frac{\partial }{\partial x}\left(\mu \frac{\partial u}{\partial x}\right)\\ \quad\quad\quad+\frac{\partial }{\partial y}\left(\mu \left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\right)\\ \quad\quad\quad+\frac{\partial }{\partial z}\left(\mu \left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right)\right)+\frac{\partial }{\partial x}(\lambda \cdot \text{div}\quad{\mathfrak{v}}).\end{array}\end{eqnarray}

Diese Gleichung nennt man zusammen mit den beiden analogen Gleichungen für die y- und die z-Richtung die Navier-Stokes-Gleichungen mit zwei Koeffizienten μ und λ.

Hat man es dagegen mit inkompressiblen Flüssigkeiten konstanter Zähigkeit zu tun, so reduzieren sich diese Gleichungen zu

\begin{eqnarray}\frac{du}{dt}=X-\frac{1}{\varrho }\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\mu }{\varrho }{\rm{\Delta }}u\end{eqnarray}