Lexikon der Mathematik: Nullstellenordnung
Vielfachheit der Nullstelle einer Funktion.
Es seien G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in Gholomorphe Funktion, die nicht identisch gleich Null ist, z0 ∈ G und f (z0) = 0. Dann existiert eine kleinste Zahl m ∈ ℕ derart, daß
und
Diese Zahl m heißt die Nullstellenordnung von f in z0 und wird mit o(f, z0) bezeichnet. Ist f (z0) ≠ 0, so setzt man o(f, z0) := 0. Für die Nullfunktion setzt man o(f, z0) := ∞. Analoge Definitionen für reelle und andere Funktionen liegen auf der Hand.
Es gilt m = o(f, z0) genau dann, wenn eine in G holomorphe Funktion \(\hat{f}\) existiert derart, daß \(\hat{f}\) (z0) ≠ 0 und
für alle z ∈ G. Weiter gelten folgende Rechenregeln für in G holomorphe Funktionen f und g:
- o(fg, z0) = o(f, z0) + o(g, z0) (Produktregel),
- o(f + g, z0) ≥ min {o(f, z0), o(g, z0)}, wobei Gleichheit sicher dann gilt, wenn o(f, z0) ≠ o(g, z0).
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