Begriff aus der algebraischen

Geometrie.

Sei X ein Schema, ℇ eine lokal freie Garbe von 𝒪_X-Moduln vom Rang r, und s ein globaler Schnitt von ℇ. Eine Nullstelle von s ist ein Punkt x ∈ X so, daß s bei der Abbildung ℇ → ℇ|x (Restriktion) auf Null abgebildet wird.

Die Menge aller Nullstellen ist abgeschlossen und lokal durch r Gleichungen f₁ = · · · = f_r = 0 definiert, wenn E auf der offenen Menge U durch Schnitte e₁, …, e_r erzeugt wird und \begin{eqnarray}s|U={f}_{1}{e}_{1}+\cdots +{f}_{r}{e}_{r}\end{eqnarray}

mit f_j ∈ 𝒪_X(U) gilt.

Diese Menge läßt sich auf natürliche Weise mit der Struktur eines abgeschlossenen Unterschemas Z(s) ⊂ X, des Nullstellenschemas, versehen: s induziert eine 𝒪_X-lineare Abbildung 𝒪_X → ℇ, f ↦ fs, und das Bild der dualen Abbildung \(\mathop{\varepsilon }^{\unicode {x002D8}}=Ho{m}_{{{\mathcal{O}}}_{X}}(\varepsilon,{\mathcal{O}})\to {{\mathcal{O}}}_{X}\) definiert die Idealgarbe I_Z(s). Insbesondere erhält man einen natürlichen Epimorphismus auf die Konormalengarbe von Z = Z(s), nämlich \(\mathop{ {\mathcal E} }^{\unicode {x002D8}}{\otimes }_{{{\mathcal{O}}}_{X}}{{\mathcal{O}}}_{Z}\to {{\mathcal{N}}}_{Z/X}^{* }\), und wenn Z lokal vollständiger Durchschnitt der Kodimension r in X ist, ist dies ein Isomorphismus.

In diesem Fall ergibt sich aus der Adjunktionsformel: Wenn X eine dualisierende Garbe ω_x besitzt, so ist (∧^r ℇ ⊗ ω_X)|Z dualisierende Garbe für Z, die dualisierende Garbe von Z ist also Einschränkung eines Geradenbündels über X auf Z; diese Eigenschaft von Z nennt man auch subkanonisch.

Speziell erhält man im Falle r = 2 eine exakte Folge (wenn Z(s) von der Kodimension 2 ist) \begin{eqnarray}0\to {{\mathcal{O}}}_{X}\mathop{\to }\limits^{s}\varepsilon \mathop{\to }\limits^{\wedge s}{I}_{Z}\otimes {\wedge }^{2}\varepsilon \to 0\end{eqnarray}

(ℇ → I_Z ⊗ ∧²ℇ ist die Abbildung t ↦t ∧ s).