Kenngröße eines Ellipsoids.

Ein Ellipsoid mit der Gleichung \begin{eqnarray}\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1\end{eqnarray}

hat den Oberflächeninhalt \begin{eqnarray}O=2\pi {c}^{2}+\frac{2\pi b}{\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}}\left[\left({a}^{2}-{c}^{2}\right)E(\Theta )+{c}^{2}\Theta\right].\end{eqnarray}

Dabei ist E(Θ) ein vollständiges elliptisches Integral zweiter Art, \begin{eqnarray}E(\Theta )=\displaystyle \underset{0}{\overset{{\scriptstyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}\sqrt{1-{k}^{2}{\sin }^{2}\Theta }d\Theta,\end{eqnarray}

mit \(k=\frac{{e}_{2}}{{e}_{1}}\), wobei e₁ und e₂ die numerischen Exzentrizitäten des Ellipsoids sind: \begin{eqnarray}{e}_{1}^{2}=\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}};\,{e}_{2}^{2}=\frac{{b}^{2}-{c}^{2}}{{b}^{2}}.\end{eqnarray} Θ läßt sich durch Invertieren der Gleichung e₁ = sn(Θ, k) bestimmen.