Lexikon der Mathematik: Oszillation
Schwankung, der Ausdruck
Die erste Beschreibung hat den Vorteil, daß sie entsprechend für wesentlich allgemeinere Zielbereiche gilt: Ist der Zielbereich etwa ein metrischer Raum \(({\mathfrak{S}},\delta)\), so definert man entsprechend
Ist A nicht-leere Teilmenge von \({\mathfrak{D}}\), so bezeichnet
Ist auf \({\mathfrak{D}}\) eine Topologie erklärt, dann bezeichnet für \(x\in \Re \)
Die Funktion sf ist oberhalb halbstetig (Halbstetigkeit).
Die Menge U(f) der Unstetigkeitspunkte von f kann mit \({U}_{\varepsilon }(f):=\{x\in {\mathfrak{D}}\text{|}{s}_{f}\text{(}x\text{)}\ge \varepsilon \}\) (für ϵ > 0) in der Form
Mit der Funktion s kann die Riemann-Integrierbarkeit einer auf einem kompakten Intervall gegebenen beschränkten reellwertigen Funktion f zum Beispiel wie folgt – rein innerhalb der Theorie des Riemann-Integrals (mit dem Jordan-Inhalt) – beschrieben werden:
f ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sf eine Jordan-Nullfunktion ist, bzw. genau dann, wenn U(f) abzählbare Vereinigung von JordanNullmengen ist.
Diese Charakterisierung gilt entsprechend für mehrdimensionale Integration für eine beschränkte Funktion mit beschränktem Träger.
Man vergleiche auch Stetigkeitsmodul.
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