ein längs einer auf einer Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) verlaufenden Kurve α(t) definiertes, zu \( {\mathcal F} \) tangentielles Vektorfeld konstanter Länge, das mit dem Tangentialvektor \(\mathop{\alpha }\limits^{.}(t)\) einen konstanten Winkel einschließt.

Genauer müßte der Begriff also parallel verschobenes Vektorfeld lauten. Mit ihm verallgemeinert man die anschauliche elementargeometrische Vorstellung von einem Vektor, der entlang einer Geraden der Ebene ℝ² oder des Raumes ℝ³ so bewegt wird, daß er dabei seine Länge bewahrt und mit dem Richtungsvektor der Geraden einen konstanten Winkel bildet.

Die obige Definition läßt sich mit analogem Wortlaut auf Felder \({\mathfrak{s}}(t)\) von Tangentialvektoren verallgemeinern, die entlang von Kurven α(t) einer n-dimensionalen Riemannschen MannigfaltigkeitM definiert sind.

Wählt man lokale Koordinaten x₁, …, x_n auf M, so erhält man parametrische Darstellungen α(t) = (x₁(t), …, x_n(t)) und \({\mathfrak{s}}(t)=({s}_{1}(t),\ldots,{s}_{n}(t))\) von α bzw. \({\mathfrak{s}}\).

Die Eigenschaft, parallel verschobener Vektor zu sein, wird in äquivalenter analytischer Form durch das folgende System linearer Differentialgleichungen für die Komponenten s_i (t) von \({\mathfrak{s}}(t)\) beschrieben: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\frac{d{s}_{k}}{dt}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{{\rm{\Gamma }}}_{ij}^{k}({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t)){s}_{i}\frac{d{x}_{j}(t)}{dt},\end{array}\end{eqnarray} in dem die \({{\rm{\Gamma }}}_{ij}^{k}\) die Christoffelsymbole des Levi-Civita-Zusammenhangs von M sind. Folglich sind parallel verschobene Vektorfelder allein durch den Zusammenhang charakterisiert, sodaß man diesen Begriff mit Hilfe der Gleichung (1) auch auf anderen Mannigfaltigkeiten definieren kann, die mit einem linearen oder affinen Zusammenhang versehen sind.

Siehe auch geodätisch parallele Vektoren.