ein Ausdruck der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \int f(x,t)dx\end{eqnarray} also eine Funktion der ‚freien‘ Variablen t, die in diesem Zusammenhang meist Parameter genannt wird. Das auftretende Integral kann dabei ein – einoder mehrdimensionales – eigentliches oder uneigentliches Riemann-Integral, ein Lebesgue-Integral oder auch ein ganz beliebiges Integral sein.

Dabei stellen sich die folgenden Fragen:

• Ist die resultierende Funktion \begin{eqnarray}t\mapsto \displaystyle \int f(x,t)\,dx\end{eqnarray} stetig?
• Ist Differentiation unterm Integral \begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\displaystyle \int f(x,t)\,dx=\displaystyle \int \frac{\partial }{\partial t}f(x,t)\,dx,\end{eqnarray} auch Differentiation nach einem Parameter genannt, erlaubt?
• Kann die Reihenfolge bei iterierter Integration vertauscht werden: \begin{eqnarray}\displaystyle \int \left(\displaystyle \int f(x,t)\,dx\right)\,dt=\displaystyle \int \left(\displaystyle \int f(x,t)\,dt\right)\,dx?\end{eqnarray} Hier spricht man gelegentlich auch von Integration unterm Integral.

Der geeignete Rahmen für die befriedigende Beantwortung all dieser Fragen ist eine Integrationstheorie, bei der man ‚alle‘ einschlägigen Konvergenzsätze (insbesondere Levi und Lebesgue) zur Verfügung hat, also etwa die Lebesgue-Theorie.

Zu der dritten Frage liefern der Satz von Fubini und – allgemeiner – Überlegungen zur iterierten Integration weitgehende Aussagen. Die beiden ersten Fragen können – noch unter speziellen Voraussetzungen – wie folgt beantwortet werden:

Es seien n ∈ ℕ, \({\mathfrak{M}}\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\)Lebesgue-meßbar, D offene Teilmenge von ℝ, und\begin{eqnarray}f:{\mathfrak{M}}\times D\to {\mathbb{R}}\end{eqnarray}bei festem t ∈ D jeweils Lebesgue-integrierbar und für fast alle \({\mathfrak{x}}\in {\mathfrak{M}}\)stetig bezüglich t. f habe eine Lebesgue-integrierbare Majorante \(\varphi :{\mathfrak{M}}\to {\mathbb{R}}\), d. h. \(|f({\mathfrak{x}},t)|\le \varphi ({\mathfrak{x}})\)für \(({\mathfrak{x}},t)\in {\mathfrak{M}}\times D\).

Dann ist die durch \begin{eqnarray}F(t):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{M}}}f({\mathfrak{x}},t)\,d{\mathfrak{x}}\end{eqnarray}definierte Funktion in D stetig.

Weiterhin gilt:

Unter den obigen Voraussetzungen sei noch für fast alle \({\mathfrak{x}}\in {\mathfrak{M}}\)die Funktion \(D\ni t\to f({\mathfrak{x}},t)\)differenzierbar, und ihre Ableitung \(\frac{\partial f}{\partial t}\)besitze eine Lebesgue-integrierbare Majorante \(\varphi :{\mathfrak{M}}\to {\mathbb{R}}\), d. h. es gelte\begin{eqnarray}|\frac{\partial f}{\partial t}({\mathfrak{x}},t)|\le \varphi ({\mathfrak{x}})\end{eqnarray}für alle t ∈ D und fast alle \({\mathfrak{x}}\in {\mathfrak{M}}\).

Dann ist die Funktion F für t ∈ D differenzierbar mit\begin{eqnarray}{F}^{\prime}(t)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathfrak{M}}}\frac{\partial f}{\partial t}({\mathfrak{x}},t)\,d{\mathfrak{x}}.\end{eqnarray}

[1] Hoffmann, D.; Schäfke, F.-W.: Integrale. B.I.-Wissenschaftsverlag Mannheim Berlin, 1992.
[2] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis III. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1999.