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Lexikon der Mathematik: Partialbruchzerlegung

die Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\left[\displaystyle\frac{{a}_{1,1}}{x-{\alpha }_{1}}+\cdots +\frac{{a}_{1,{k}_{1}}}{{(x-{\alpha }_{1})}^{{k}_{1}}}\right]\\ +\cdots +\\ +\left[\displaystyle\frac{{a}_{r,1}}{x-{\alpha }_{r}}+\cdots +\frac{{a}_{r,{k}_{r}}}{{(x-{\alpha }_{r})}^{{k}_{r}}}\right]\\ +\left[\displaystyle\frac{2{b}_{1,1}(x-{\beta }_{1})+{c}_{1,1}}{{(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2}}+\cdots +\frac{2{b}_{1,{m}_{1}}(x-{\beta }_{1})+{c}_{1,{m}_{1}}}{{({(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2})}^{{m}_{1}}}\right]\\ +\cdots +\\ +\left[\displaystyle\frac{2{b}_{s,1}(x-{\beta }_{s})+{c}_{s,1}}{{(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2}}+\cdots +\frac{2{b}_{s,{m}_{s}}(x-{\beta }_{s})+{c}_{s,{m}_{s}}}{{({(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2})}^{{m}_{s}}}\right]\end{array}\end{eqnarray} mit geeigneten reellen Zahlen aϱ,κ, bσ,μ und cσ,μ einer reduzierten rationalen Funktion R = R(x), d. h. einer rationalen Funktion der Form \begin{eqnarray}R(x):=\frac{P(x)}{Q(x)}\,\,\,\,(x\in {D}_{R}:=\{x\in {\mathbb{R}}|Q(x)\ne 0\})\end{eqnarray} mit Polynomen P und Q mit ord P< ord Q („echter (Polynom-)Bruch“), deren Nennerpolynom Q in der Form \begin{array}{l}{(x-{\alpha }_{1})}^{{k}_{1}}\cdots {(x-{\alpha }_{r})}^{{k}_{r}}\cdot \\ \,\,\,\,\,\,\cdot {[{(x-{\beta }_{1})}^{2}+{\gamma }_{1}^{2}]}^{{m}_{1}}\cdots {[{(x-{\beta }_{s})}^{2}+{\gamma }_{s}^{2}]}^{{m}_{s}}\end{array}

mit

r, s ∈ ℕ0, kϱ, mσ ∈ ℕ, αϱ, βσ, γσ ∈ ℝ, γσ > 0, αϱ und (βσ, γσ) jeweils paarweise verschieden und k1 + … + kr + 2 (m1 + … +ms) = n

zerlegt sei (was in ℂ gerade der Zerlegung in Linearfaktoren entspricht).

Grundlage für die Möglichkeit dieser Zerlegung ist der Fundamentalsatz der Algebra. Sie hat Bedeutung für die Integration rationaler Funktionen, da die Berechnung einer Stammfunktion von R damit reduziert ist auf die Berechnung von Stammfunktionen zu Funktionen des Typs \begin{eqnarray}\frac{1}{{(x-\alpha )}^{k}}\,\,\,\,\,(\alpha \in {\mathbb{R}},\,\,k\in {\mathbb{N}})\end{eqnarray} oder \begin{eqnarray}\frac{2b(x-\beta )+c}{{({(x-\beta )}^{2}+{\gamma }^{2})}^{m}}\,\,\,\,\,(m\in {\mathbb{N}};\,\,b,c,\beta \in {\mathbb{R}},\gamma \gt 0)\end{eqnarray} (Integration von Partialbrüchen).

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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