Bezeichnung für die Formeln (1) bzw. (2) im folgenden Satz.

Es seien n ∈ ℕ, a₁,…,a_n ∈ ℂ und b₀, b₁,…,b_n ∈ ℂ. Dann gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{a}_{k}({b}_{k}-{b}_{k-1})={a}_{n}{b}_{n}-{a}_{1}{b}_{0} & \\ -\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{b}_{k}({a}_{k+1}-{a}_{k}).\end{array}\end{eqnarray}

Oft schreibt man diese Formel auch in der folgenden Form. Sind a₁,…,a_n ∈ ℂ und b₁,…,b_n, b_n+1 ∈ ℂ, so gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{a}_{k}{b}_{k}={A}_{n}{b}_{n+1}+\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{A}_{k}({b}_{k}-{b}_{k+1}),\end{array}\end{eqnarray} wobei \({A}_{k}:=\displaystyle {\sum }_{j=1}^{k}{a}_{j},\,\,\,\,k=1,\ldots, n\).

Hieraus läßt sich leicht das folgende Konvergenzkriterium für Funktionenreihen ableiten.

Es seien (f_n), (g_n) Folgen von Funktionen f_n, g_n : X → ℂ auf einer Menge X ⊂ ℂ, und \begin{eqnarray}{F}_{N}:=\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{f}_{n}\end{eqnarray}für N ∈ ℕ. Weiter sei die Folge (F_ng_n+1) und die Reihe\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{F}_{n}({g}_{n}-{g}_{n+1})\end{eqnarray}gleichmäßig konvergent auf X.

Dann ist auch die Reihe\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{f}_{n}{g}_{n}\end{eqnarray}gleichmäßig konvergent auf X.

Als Beispiel sei die Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{e}^{inx},\,\,\,\,x\in (0,2\pi )\end{eqnarray} betrachtet, wobei (a_n) eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen ist. Setzt man f_n(x) = e^inx und g_n(x) = a_n, so folgt \begin{eqnarray}{F}_{N}(x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{e}^{inx}=\frac{1-{e}^{i(N+1)x}}{1-{e}^{ix}}\end{eqnarray} und daher die gleichmäßige Konvergenz der Reihe auf jedem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊂ (0, 2π). Zerlegt man die Reihe in Real- und Imaginärteil, so folgt speziell die Konvergenz der Reihen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n}\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}\end{eqnarray} auf (0, 2π).

Interpretiert man Summation als Integration, also Σa_kb_k als „Integral“ des Produkts, und A_k als „Integralfunktion“ von a_j, so gleicht Formel (2) der Gleichung zur partiellen Integration. Daher erklärt sich der Name partielle Summation.

Das wird noch deutlicher in folgendem Resultat:

Sei (a_n)_n≥0eine Folge komplexer Zahlen, und bezeichne\begin{eqnarray}A(t):=\displaystyle \sum _{n\le t}{a}_{n}.\end{eqnarray}

Weiter sei b eine stetig differenzierbare komplexe Funktion auf dem (reellen) Intervall [1, x]. Dann gilt\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{1\le n\le x}{a}_{n}b(n)=A(x)b(x)-\displaystyle \underset{1}{\overset{x}{\int }}A(t){b}{^{\prime} }(t)\,dt.\end{eqnarray}