Lexikon der Mathematik: Perron-Integral
eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals, weitestgehend analog zum Denjoy-Integral (Denjoy-integrierbare Funktion).
Zur Definition braucht man den Begriff der Oberund Unterfunktion. Es sei f eine auf dem Intervall [a, b] definierte (nicht notwendigerweise endliche) reellwertige Funktion.
Mit Hilfe der vier Dini-Ableitungen der Funktionf, also D−f, D−f D+f, D+f, setzt man Du = min{D−f, D+f} und Do = max{D−f, D+f}. Man nennt dann eine Funktion O Oberfunktion von f, wenn gilt: O(a) = 0, und
Stimmt nun die untere Schranke über die Werte O(b) aller Oberfunktionen mit der oberen Schranke über die Werte U(b) aller Unterfunktionen überein, so nennt man diesen gemeinsamen Wert das Perron-Integral von f, meist bezeichnet mit
In diesem Fall nennt man f eine Perron-integrierbare Funktion.
Beispielsweise sind meßbare Funktionen, die eine Unter- und Oberfunktion besitzen, Perronintegrierbar.
Die Funktion f ist genau dann Perron-integrierbar, wenn sie Denjoy-integrierbar ist; in diesem Fall stimmen Perron-Integral und Denjoy-Integral überein.
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