Lexikon der Mathematik: Picard-Fuchs-Gleichungen
lineare Differentialgleichungen für die Perioden von holomorphen n-Formen einer eindimensionalen Familie glatter projektiver algebraischer Varietäten der Dimension n.
Zum Beispiel erfüllen die Perioden p der Familie elliptischer Kurven
Die allgemeine Situation ist wie folgt: π : X → S sei ein glatter projektiver Morphismus einer algebraischen Varietät X auf eine glatte algebraische Kurve S über ℂ mit n-dimensionalen zusammenhängenden Fasern. Dann ist \({\pi }_{* }{{\rm{\Omega }}}_{X|S}^{n}\) Unterbündel der de Rham-Kohomologie \({{\mathcal{H}}}_{DR}^{n}(X/S)\), und auf \({{\mathcal{H}}}_{DR}^{n}(X/S)={\mathcal{H}}\) ist der Gauß-Manin-Zusammenhang \(\nabla :{\mathcal{H}}\to {{\rm{\Omega }}}_{S}^{1}\otimes {\mathcal{H}}\) definiert.
Es sei \({{\mathcal{D}}}_{S}\) die Garbe der linearen Differentialoperatoren mit holomorphen Koeffizienten auf S. Daß der Zusammenhang ∇ integrabel ist, ist äquivalent dazu, daß \({\mathcal{H}}\) die Struktur eines \({{\mathcal{D}}}_{S}\)-Moduls besitzt. Wenn ω Schnitt oder Keim eines Schnittes von \({\pi }_{* }{{\rm{\Omega }}}_{X/S}^{n}\) ist, so heißen die Schnitte P bzw. Keime von Schnitten von \({{\mathcal{D}}}_{S}\) mit Pω = 0 Picard-Fuchs-Gleichungen von ω.
Dies hängt auf folgende Weise mit den Perioden von ω zusammen: Die Homologie-Gruppen \({H}_{n}({X}_{s}^{an},{\mathbb{C}})\) (wobei \({X}_{s}^{an}\) der zugrundeliegende analytische Raum der Faser π−1(s), s ∈ S(ℂ), ist) bilden ein lokales System \(\mathop{V}\limits_{\_}\) auf San. Ist γ ein Schnitt dieses lokalen Systems, so ist
Die Picard-Fuchs-Gleichungen von ω bilden ein Linksideal \(L\subset {{\mathcal{D}}}_{S}\), so daß \({\mathfrak{M}}={{\mathcal{D}}}_{S}/L\cong {{\mathcal{D}}}_{S}\omega \) als \({{\mathcal{D}}}_{S}\)-Modul, und die Perioden liefern auf die oben beschriebene Weise eine Surjektion auf die Garbe der Lösungen des entsprechenden Differentialsystems \({\mathfrak{M}}\)
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