Lexikon der Mathematik: Picard, großer Satz von
wichtiger Satz in der Funktionentheorie, der wie folgt lautet:
Es seien G ⊂ ℂ ein Gebiet, z0 ∈ G, und f eine in G \ {z0} holomorphe Funktion. Weiter sei z0einewesentliche Singularität von f.
Dann nimmt f in jeder Umgebung vonz0jeden Wert a ∈ ℂ mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft an.
Die Funktion f (z) = e1/z ist holomorph in G = ℂ\ {0} und hat an z0 = 0 eine wesentliche Singularität. Sie nimmt den Wert 0 nie an. Dieses Beispiel zeigt, daß ein Ausnahmewert vorkommen kann.
Der große Satz von Picard läßt sich leicht auf meromorphe Funktionen erweitern.
Es seien G ⊂ ℂ ein Gebiet, z0 ∈ G, und f eine in G \ {z0} meromorphe Funktion. Weiter sei z0eine wesentliche Singularität oder ein Häufungspunkt von Polstellen von f.
Dann nimmt f in jeder Umgebung von z0jeden Wert \(a\in \hat{{\mathbb{C}}}\)mit höchstens zwei Ausnahmen unendlich oft an.
Die Funktion
Eine weitere Version des großen Satzes von Picard behandelt den Fall G = ℂ und z0 = ∞.
Es sei f eineganz transzendente Funktion. Dann nimmt f jeden Wert a ∈ ℂ mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft an.
Die Funktion
Es sei f eine in ℂ transzendente meromorphe Funktion. Dann nimmt f jeden Wert \(a\in \hat{{\mathbb{C}}}\)mit höchstens zwei Ausnahmen unendlich oft an.
Die Funktion
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