Lexikon der Mathematik: Picard-Lefschetz-Theorie
beschreibt die Monodromie einer meromorphen Funktion f : X → ℙ1(ℂ) auf der ganzzahligen (singulären) Homologie H*(X0) (oder Kohomologie H*(X0)) für X0 = f−(t0) unter folgenden Voraussetzungen: X ist eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n + 1, f hat nur endlich viele kritische Werte t1,…,tr ∈ ℙ1(ℂ), und in jeder Faser f−1(tj) gibt es nur einen singularen Punkt xj, dieser ist ein → gewohnlicher Doppelpunkt. Der Basispunkt t0 ist aus
Ein wichtiges Beispiel für diese Situation erhält man aus einer glatten projektiven algebraischen Varietät Y und einem Lefschetz-Büschel von Hyperebenenschnitten. Hier ist \(X\mathop{\to }\limits^{\sigma }Y\) die Aufblasung von Y längs des Basisortes des Büschels und f die durch das Büschel induzierte Abbildung. Hierbei werden die Fasern von f unter σ isomorph auf die Hyperebenenschnitte des Büschels abgebildet. Die Monodromie-Wirkung der Gruppe π = π1 (ℙ1(ℂ)*, t0) ist trivial auf allen Gruppen Hq(X0), außer für q = n. Zur Beschreibung der Monodromie auf Hn(X0) wird ein spezielles Erzeugendensystem von π sowie der Gruppe
Zu diesem Zweck wird für jeden kritischen Punkt xj eine hinreichend kleine abgeschlossene kontrahierbare Umgebung \({\bar{B}}_{j}\) von xj in X und eine hinreichend kleine abgeschlossene Kreisscheibe \({\bar{D}}_{j}\) in ℙ1(ℂ) mit Zentrum tj so gewählt, daß \({f}^{-1}({\bar{D}}_{j})\cap {\bar{B}}_{j}\) kontrahierbar ist. Ferner werde für jedes j ein glatter Weg ℓj von t0 nach einem Randpunkt ωj von \({\bar{D}}_{j}\) so gewählt, daß ℓj mit \({\cup }_{i=1}^{r}{\bar{D}}_{i}\) nur diesen Randpunkt ωj gemeinsam hat, und so daß ℓ = ∪ℓj in sich auf t0 kontrahierbar ist.
Die Komposition der Wege ℓj, \(\partial {\bar{D}}_{j}\) (im mathematisch positivem Sinne) und \({\ell }_{j}^{-1}\) ergibt geschlossene Wege γj in ℙ1(ℂ)*, deren Homotopie-Klassen [γ], j = 1,…, γ, die Gruppe π erzeugen. Die Faser \({S}_{j}=\bar{!}{B}_{j}\cap {f}^{-1}({\omega }_{j})\) von \(f|{\bar{B}}_{j}\) ist homotop zu einer n-dimensionalen Sphäre, also erhält man Homomorphismen
Die Elemente δ1,…, δr erzeugen die Gruppe V der verschwindenden Zyklen. Für das durch Poincare-Dualität definierte Schnittprodukt auf Hn(X0) gilt:
Die Monodromie T([γj]) ist durch die Formel
Wenn \(X\mathop{\to }\limits^{f}{{\mathbb{P}}}^{1}({\mathbb{C}})\) durch ein Lefschetz-Büschel auf einer glatten projektiven algebraischen Varietät Y entsteht, und Homologie mit reellen Koeffizienten betrachtet wird, so sind folgende Aussagen äquivalent zum harten Lefschetz-Satz für Y:
- Hn(X0) = V ⊕ I, wobei I = Hn(X0)π den Raum der invarianten Zyklen bezeichnet.
- V ist ein nicht-trivialer einfacher π-Modul oder V = 0.
- Hn(X0) ist ein halbeinfacher π-Modul.
- (V, 〈, 〉) ist nicht ausgeartet.
- (I, 〈, 〉) ist nicht ausgeartet.
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