zahlentheoretische Behauptung, die in spezieller Form wie folgt lautet:

(PS) Ist k eine gegebene ganze Zahl ≠ 0, so besitzt die Gleichung \begin{eqnarray}{x}^{n}-{y}^{m}=k\end{eqnarray} nur endlich viele Lösungen (m, n, x, y) aus ganzen Zahlen ≥ 2.

Pillai vermutete 1945 noch etwas allgemeiner:

(PA) Sind a, b, k gegebene ganze Zahlen ≠ 0, so besitzt die Gleichung \begin{eqnarray}a{x}^{n}-b{y}^{m}=k\end{eqnarray} nur endlich viele Lösungen (m, n, x, y) aus ganzen Zahlen ≥ 2 mit der Eigenschaft mn > 4.

Für den Fall k = 1 wurde die Pillaische Vermutung (PS) 1976 von Tijdeman bewiesen; in diesem Fall handelt es sich um eine abgeschwächte Form der Catalanschen Vermutung.

Die volle Behauptung (PS) ist noch nicht bewiesen. Im allgemeinen Fall (PA) ist die Bedingung mn > 4 notwendig, ansonsten hätte man z. B. im Falle a = k = 1 und b = 2 die Gleichung \begin{eqnarray}{x}^{n}-2{y}^{m}=1\end{eqnarray} zu untersuchen, die für m = n = 2 eine Pellsche Gleichung mit unendlich vielen Lösungen ist.