Einbettung der Graßmann-Mannigfaltigkeiten G_k (n) in den Raum ℙ_N−1 mit \(N=(n\\ k)\).

Sei \begin{eqnarray}{M}_{k}(n)\,:=\,\{A\,\in \,{{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{k\,\times \,n};\,\text{rang}A\,\text{=}\,k\}\,\subset \,{{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{k\,\times \,n}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{G}_{k}(n)\,:=\,GL(n,\,{\rm{{\mathbb{C}}}})\,\backslash \,\{A\,\in \,GL(n,\,{\rm{{\mathbb{C}}}})\,|\,A({{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{k})={{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{k}\}\end{eqnarray} die Graßmann-Mannigfaltigkeit. A_j bezeichne die j-te Spalte von A, und für einen Vektor (ν₁,…, ν_k) ∈ ℕ^k mit 1 ≤ ν₁< … < ν_k ≤ n sei A_ν := (A_ν1 ,…, A_νk). Dann existiert ein kommutatives Diagramm

Die Abbildung ϕ ist injektiv, denn wenn gilt ϕA = ϕÃ, dann existiert ein µ ∈ ℂ , so daß φà = µ^kφÃ, und daher auch ein g ∈ GL (k, ℂ), so daß A = (µg)Ã. Außerdem ist ϕ eine Immersion: Sei {e₁,…, e_n} die kanonische Basis von ℂⁿ, dann gilt \begin{eqnarray}\phi (A)=(\det \,{A}_{v})\,{e}_{{v}_{1}}\,\wedge\,\mathrm{\ldots }\,\wedge\,{e}_{{v}_{k}};\end{eqnarray} für die Karte U ≅ ℂ^N−1 im ℙ_N−1, gekennzeichnet durch den Koeffizienten 1 für e₁ ∧ … ∧ e_k hat die Abbildung \begin{eqnarray}\phi \,:\,W\,\cong \,{{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{k\,\times \,(n-k)}\,\to \,U\,\cong \,{{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{N-1}\end{eqnarray} die Komponenten ϕ_ν mit ϕ_ν (A) = det A_ν. Für j >k gilt \begin{eqnarray}{\varphi }_{(1,\mathrm{\ldots },\hat{i},\mathrm{\ldots },k,j)}(A)=\det \,\left(\begin{array}{ccccccc}1 & & & 0 & & & {b}_{1j}\\ 0 & \ddots & & & & & .\\ & \ddots & 1 & & & & .\\ & & 0 & 0 & & & .\\ & & & 1 & \ddots & & .\\ & 0 & & i & \ddots & 0 & .\\ & & & & & 1 & {b}_{kj}\end{array}\right)={(-\,1)}^{k\,-i\,-1}\,{b}_{ij,}\end{eqnarray} und es folgt rang Tϕ = k(n − k).

Siehe auch Graßmann-Varietät.