auch Satz von Poincaré oder Poincaré-Index-Theorem genannt, lautet:

Sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand, und sei darauf ein Vektorfeld f gegeben.

Hat f nur isolierte Fixpunkte, so ist die Summe aller ihrer Indizes (Index eines Fixpunktes) gleich der Eulerschen Charakteristik von M. Hat M die Eulersche Charakteristik 0, so gibt es auf M ein stetiges Vektorfeld ohne Fixpunkte.

Die Summe der Indizes eines Vektorfeldes auf M mit nur isolierten Fixpunkten ist also allein durch die Mannigfaltigkeit M gegeben. Mittels dieses Satzes läßt sich auf die Existenz stetiger Vektorfelder auf M ohne Fixpunkte allein aus Eigenschaften der Mannigfaltigkeit M schließen.