Modell der zweidimensionalen nichteuklidischen hyperbolischen Geometrie innerhalb einer offenen Kreisscheibe der euklidischen Ebene.

Diese Kreisscheibe wird als hyperbolische Ebene H bzw. (aus der Sicht der einbettenden euklidischen Ebene) als Fundamentalkreis bezeichnet. Die Punkte der Kreislinie selbst gehören nicht zu H, sondern werden als uneigentliche Punkte der hyperbolischen Ebene bezeichnet. Nichteuklidische (hyperbolische) Geraden sind in diesem Modell offene Kreisbögen, die (in euklidischem Sinne) senkrecht zu H sind, sowie die Durchmesser von H.

Offensichtlich gibt es zu jeder hyperbolischen Geraden h durch jeden Punkt P, der nicht auf h liegt, unendlich viele Geraden, die h nicht schneiden, womit das Parallenaxiom der hyperbolischen Geometrie erfüllt ist (als parallel werden allerdings nur solche Geraden definiert, die sich „im Unendli-chen schneiden“, d. h. einen uneigentlichen Punkt gemeinsam haben). Weiterhin läßt sich zeigen, daß (bei einer geeigneten Definition der Kongruenz) alle Axiome der absoluten Geometrie erfüllt sind.

Wie die Poincaré-Halbebene (aber im Gegensatz zum Kleinschen Modell) ist die Poincaré-Kreisscheibe ein konformes Modell der hyperbolischen Geometrie, d. h. die hyperbolischen Winkelmaße zwischen zwei Geraden entsprechen den euklidischen Winkelmaßen.