besagt, daß es für orientierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeiten M natürliche Isomorphismen \begin{eqnarray}P:{\rm H}_{c}^{q}\,(M;\,G)\,\cong \,{\rm H}_{n-q}(M;\,G)\text{,}\,\,\,\,q\,\text{=}\,0\text{,}\,\mathrm{\ldots }\,\text{,}\,n\text{,}\end{eqnarray} zwischen den q-ten Kohomologiegruppen von M mit kompakten Trägern und mit Werten in einer beliebigen abelschen Koeffizientengruppe G und den (n − q)-ten Homologiegruppen gibt.

Für kompakte Mannigfaltigkeiten ist H_c die übliche Kohomologie.

Ist speziell G = 𝕂 ein Körper, so sind die (Ko-)Homologiegruppen Vektorräume über 𝕂. Sind diese Vektorräume endlichdimensional, so ist die q-te Betti-Zahl hier definiert als \begin{eqnarray}{\text{b}}_{q}:\text{=}\,\dim \,\text{H}q(M\text{,}\,{\mathbb{K}})\,\text{=}\,\dim \,{\text{H}}_{c}^{q}\,(M\text{,}\,{\mathbb{K}})\,\text{.}\end{eqnarray} Aus dem Poincaréschen Dualitätssatz folgt die Symmetrie b_q = b_n−q der Betti-Zahlen.