Lexikon der Mathematik: Poisson-Geometrie
differentialgeometrische Untersuchung der Poissonschen Mannigfaltigkeiten.
Eine Poissonsche Mannigfaltigkeit (M, P) kann man als Verallgemeinerung einer symplektischen Mannigfaltigkeit insofern auffassen, als es auch hier möglich ist, jeder reellwertigen C∞-Funktion H auf M ein Vektorfeld, ihr Hamilton-FeldXH := P(·, dH), zuzuordnen. Damit erhält man ein dynamisches System, für das H wegen der Antisymmetrie von P immer ein Erhaltungssatz ist. Außerdem wird auf C∞(M), dem Raum aller reellwertigen C∞-Funktionen, eine Lie-Klammer durch die Vorschrift {f, g} := P(df, dg) für alle f, g ∈ C∞(M) erklärt. Falls M gerade Dimension 2k besitzt, und der Rang der Poisson-Struktur mit 2k identisch ist, so läßt sich P invertieren, und das Inverse ω wird zu einer symplektischen 2-Form auf M.
Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit, deren Dimension mindestens zwei ist, existiert immer eine nichtverschwindende Poisson-Struktur, was für symplektische Strukturen im allgemeinen nicht der Fall ist.
Eine Poissonsche Mannigfaltigkeit besitzt stets eine Blätterung in ihre sogenannten symplektischen Blätter, die symplektische Mannigfaltigkeiten sind. Lokal läßt sich nach A.Weinstein jede Poissonsche Mannigfaltigkeit in das Produkt eines symplektischen Blattes und einer minimalen transversalen Poissonschen Mannigfaltigkeit, die die sog. transversale Poisson-Struktur trägt, zerlegen.
Ferner lassen sich sowohl eine Kohomologietheorie (Poisson-Kohomologie, die sich im symplektischen Fall auf die de Rham-Kohomologie reduziert,) als auch eine Homologietheorie (Poisson-Homologie) auf jeder Poissonschen Mannigfaltigkeit definieren. Die Berechnung dieser (Ko)Homologien ist jedoch selbst im ℝ2 sehr schwierig.
Neben den symplektischen Mannigfaltigkeiten liefern in neuerer Zeit die Poisson-Lie-Gruppen und ihre Poissonschen homogenen Räume die wichtigsten Beispiele für Poissonsche Mannigfaltigkeiten.
Schließlich ist das Problem der formalen assoziativen Deformation der Poisson-AlgebraC∞(M) gerade für quantenmechanische Anwendungen interessant und wird in der Theorie der Deformations-quantisierung behandelt.
[1] Vaisman, Izu: Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Birkhäuser-Verlag Basel, 1994.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.