Darstellungsformel für eine im Einheitskreis 𝔼 ={ z ∈ ℂ : |z| < 1 } harmonische Funktion.

Es sei u eine auf \(\bar{\mathbb E}\)stetige und in 𝔼 harmonische Funktion. Dann gilt\begin{eqnarray}u(z):=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\mathcal{P}(r,\vartheta -t)u({e}^{i\vartheta })d\vartheta ,\,\,\,\, z\in {\mathbb{E}},\end{eqnarray}wobei z = re^it und \({\mathcal{P}}\)derPoisson-Kern ist.

Dies bedeutet, daß u in 𝔼 das Poisson-Integral der Einschränkung u|∂𝔼 von u auf ∂𝔼 ist. Setzt man \begin{eqnarray}f(z):=\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{{e}^{i\vartheta }+z}{{e}^{i\vartheta }-z}u({e}^{i\vartheta })d\vartheta , \,\,\,\,z\in \mathbb{E},\end{eqnarray} so ist f eine holomorphe Funktion in 𝔼, und es gilt u(z) = Re f(z) für z ∈ 𝔼.