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Lexikon der Mathematik: Poissonsche Mannigfaltigkeit

eine differenzier-bare Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer Poisson-StrukturP, Hauptgegenstand der Poisson-Geometrie.

Jede symplektische Mannigfaltigkeit ist eine Poissonsche Mannigfaltigkeit, ferner besitzt der Dualraum 𝔤 jeder endlichdimensionalen reellen Lie-algebra (𝔤, [ , ]) eine lineare Poisson-Struktur, gegeben durch Pα := α ∘ [ , ]. Das kartesische Produkt M := M1 × M2 zweier Poisson-Mannigfaltigkeiten (M1, P1) und (M2, P2) trägt wiederum eine kanonische Poisson-Struktur P1P2 die am Punkte (m1, m2) ∈ M gegeben ist durch \begin{eqnarray}({P}_{1}\oplus {P}_{2})({m}_{1},{m}_{2}):=({T}_{m}{}_{1}{i}_{1}\otimes {T}_{{m}_{1}}{i}_{1}){P}_{1}({m}_{1})+({T}_{m}{}_{2}{i}_{2}\otimes {T}_{m2}{i}_{2}){P}_{2}({m}_{2}),\end{eqnarray} wobei i1 : M1M und i2 : M2M die kanonischen Injektionen bezeichnen.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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