Pol, eine isolierte Singularitätz₀ ∈ ℂ einer in einer punktierten Kreisscheibe \begin{eqnarray}{\dot{B}}_{r}\,({z}_{0})=\{z\,\in \,{\rm{{\mathbb{C}}}}\,:\,0\,\lt \,|z-{z}_{0}|\,\lt \,r\},\,\, r\,\gt \,0\end{eqnarray}holomorphen Funktionf derart, daß | f (z)| → ∞ für z → z₀.

Es gibt verschiedene äquivalente Definitionen einer Polstelle, die im folgenden dargestellt werden.

Ist z₀ eine Polstelle von f, so existiert eine kleinste natürliche Zahl m und ein s ∈ (0, r] derart, daß die Funktion g(z) := (z − z₀)^mf(z) in \({\dot{B}}_{s}({z}_{0})\) beschränkt ist. Diese Zahl m heißt die Ordnung der Polstelle z₀ von f.

Ist G ⊂ ℂ ein Gebiet, z₀ ∈ G und f eine in G\{z₀} holomorphe Funktion, so sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist z₀ eine Polstelle der Ordnung m von f.
2. Es existiert eine in G holomorphe Funktion g mit g(z₀) ≠ 0 und \begin{eqnarray}f\,(z)=\frac{g(z)}{{(z-{z}_{0})}^{m}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z\,\in \,G\,\backslash \,\{{z}_{0}\}.\end{eqnarray}
3. Es existiert eine offene Umgebung U ⊂ G von z₀ und eine in U holomorphe und in U \{z₀} nullstellenfreie Funktion h derart, daß z₀ eine Nullstelle der Nullstellenordnungm von h ist und \begin{eqnarray}f\,(z)=\frac{1}{h(z)},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z\,\in \,U\,\backslash \,\{{z}_{0}\}.\,\,\end{eqnarray}
4. Es existiert eine offene Umgebung U ⊂ G von z₀ und positive Konstanten M₁, M₂ derart, daß für z ∈ U \{z₀} gilt: \begin{eqnarray}\frac{{M}_{1}}{{|z-{z}_{0}|}^{m}}\,\le \,|f\,(z)|\,\le \,\frac{{M}_{2}}{{|z-{z}_{0}|}^{m}}.\end{eqnarray}
5. Für die Laurent-Entwicklung von f mit Entwicklungspunkt z₀ gilt \begin{eqnarray}f\,(z)=\displaystyle \sum _{n=-m}^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z\in \,{\dot{B}}_{r}({z}_{0}),\end{eqnarray} wobei a_−m ≠ 0 und B_r(z₀) ⊂ G.

Umgekehrt gilt: Ist f holomorph in G \{z₀} und hat f ′ an z₀ eine Polstelle der Ordnung k, so ist k ≥ 2, und f hat an z₀ eine Polstelle der Ordnung k − 1.

Es seien f und g holomorphe Funktionen in G \{z₀}. Weiter sei z₀ eine Polstelle von f der Ordnung m und z₀ eine Polstelle von g der Ordnung k. Dann ist z₀ eine Polstelle von f · g der Ordnung m+k. Ist m ≠ k, so ist z₀ eine Polstelle von f +g der Ordnung max {m, k}. Im Fall m = k kann es vorkommen, daß z₀ eine hebbare Singularität von f + g ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Hauptteile der Laurent-Entwicklungen von f und −g übereinstimmen. Hat jedoch f +g eine Polstelle an z₀, so ist die Ordnung höchstens max {m, k}. Die genaue Ordnung erhält man aus den Laurent-Entwicklungen von f und g.

Im Sinne der algebraischen Geometrie kann man noch folgende Definition einer Polstelle geben:

Es sei X ein normales Noethersches Schema oder ein normaler komplexer Raum. Eine rationale bzw. meromorphe Funktion f ist dann eine Funktion auf einer offenen dichten Teilmenge X₀ ⊂ X (d. h. ein Schnitt von 𝒪_X(X₀)), so daß für alle x ∈ X eine Umgebung U von x existiert, und es Funktionen g, h ∈ 𝒪_X(U) gibt mit h ≠ 0 auf U ∩ X₀, so daß \(f=\frac{g}{h}\).

Dann ist 𝒥 = {h ∈ 𝒪 | fh ∈ 𝒪} eine kohärente Garbe von Idealen, und die Nullstellenmenge von J ist ein Divisor D, genannt der Poldivisor der Funktion f; ihre Elemente sind die Polstellen.

Wenn X glatt ist, so ist D ein Cartierdivisor, und f ist ein Schnitt des Geradenbündels 𝒪_X(D).