Technik der Numerischen Mathematik, aus einer Fixpunktiteration \begin{eqnarray}{x}^{(k\ +\ 1)}\ =\ T{x}^{(k)}\ +\ f\end{eqnarray} zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b durch Bildung geeigneter Linearkombinationen der Iterierten ein schneller konvergierendes Verfahren zu erhalten.

Mit gegebenem Startvektor x(0) bildet man mittels der Fixpunktiteration x^(k+1) = Tx^(k) + f eine Folge von Näherungslösungen x^(j) und eine modifizierte Folge \begin{eqnarray}{z}^{(j)}\ =\ \displaystyle \sum _{i=0}^{j}{\alpha }_{j,i}{x}^{(i)}\end{eqnarray} für j ∈ ℕ. Hierbei sind die α_j,i reelle Zahlen, für welche \(\displaystyle {\Sigma }_{i=0}^{j}{\alpha }_{j,i}\ =\ 1\) gilt. Sei x die eindeutige Lösung des Gleichungssystems Ax = b, bzw. der zugehörigen Fixpunktgleichung x = Tx + f. Dann gilt für den Fehler d^(j) = z^(j) − x der modifizierten Folge \begin{eqnarray}{d}^{(j)}\ =\ \displaystyle \sum _{i=0}^{j}{\alpha }_{j,i}{T}^{i}{d}^{(0)}\ =\ {P}_{k}(T){d}^{(0)}\end{eqnarray} mit dem Polynom \({p}_{k}(T)\ =\ \displaystyle {\Sigma }_{i=0}^{j}{\alpha }_{j,i}{T}^{i}\). Man ist nun an einem möglichst kleinem Fehler d^(j) interessiert, d. h. man versucht, die α_j,i so zu wählen, daß d^(j) möglichst minimal ist.

In einigen (für die Anwendungen wichtigen) Speziallfällen ist bekannt, wie die Wahl der α_j,i erfolgen sollte. Ist etwa die Fixpunktiteration x^(k+1) = Tx^(k) + f symmetrisierbar (d. h. existiert eine nichtsinguläre Matrix W so, daß W(I − T)W⁻¹ symmetrisch und positiv definit ist), dann sollten die Koeffizienten α_j,i als Koeffizienten des Polynoms \begin{eqnarray}{Q}_{k}(t)\ =\ \frac{{T}_{k}(\frac{2t-b-a\ }{b-a})}{{T}_{k}(\frac{2-b-a}{b-a})}\end{eqnarray} gewählt werden; hierbei bezeichnet T_k das k-te Tschebyschew-Polynom (erster Art). Man erhält so das optimale Tschebyschew-Beschleunigungsverfahren für die jeweilige Grunditeration.