besagt, daß jedes Polynom \(f(X)\ =\ \displaystyle {\sum }_{i=0}^{n}{a}_{i}{X}^{i}\) vom Grad n > 0 mit reellen Koeffizienten a_i ∈ ℝ als Produkt von linearen Polynomen (X − b_i), b_i ∈ ℝ, von quadratischen Polynomen (X² + c_iX + d_i) mit \({c}_{i}^{2}\ -\ 4{d}_{i}\ \lt \ 0\) und einem skalaren Faktor a_n geschrieben werden kann: \begin{eqnarray}f(X)\ =\ {a}_{n}\ \displaystyle \prod _{i=1}^{k}({X}^{2}\ +\ {c}_{i}X\ +\ {d}_{i}).\ \ \displaystyle \prod _{i=2k\ +\ 1}^{n}(X\ -\ {b}_{i}).\end{eqnarray} Die b_i sind die reellen Nullstellen des Polynoms f. Die auftretenden Faktoren müssen nicht notwendig verschieden sein. Ist b_i etwa eine mehrfache Null-stelle, so tritt das lineare Polynom (X − b_i) mehrfach auf. Die auftretenden linearen und quadratischen Polynome heißen die Primfaktoren des Polynoms. Im Polynomring über den reellen Zahlen gibt es keine Primfaktoren höheren als quadratischen Grads.

Zerlegt man das Polynom f über ℂ weiter, so zerfällt jeder quadratische Faktor in ein Produkt von linearen Polynomen \((X\ -\ \lambda )(X\ -\ \bar{\lambda })\) mit einem Paar konjugiert komplexer Nullstellen λ und \(\bar{\lambda }\). Die Existenz der Primfaktorzerlegung folgt aus der Primfaktorzerlegung komplexer Polynome und anschließendem Zusammenfassen der Paare konjugiert komplexer Nullstellen.