Lexikon der Mathematik: Primzahlsatz
ein Satz über die Asymptotik der Primzahlfunktion, der wie folgt lautet:
Für x ≥ 1 bezeichne π(x) die Anzahl aller Primzahlen p mit p ≤ x. Dann gilt
Anders formuliert bedeutet dies, daß
wobei für das Restglied R(x) gilt:
Diese Asymptotik der Primzahlfunktion wurde von Gauß und Legendre anhand der ihnen zur Verfügung stehenden Primzahltafeln vermutet.
Aufbauend auf Ergebnisse von Tschebyschew zeigten Hadamard und de la Vallee-Poussin genauer, daß es positive Konstanten C1 und C2 gibt mit
Bessere asymptotische Formeln für π(x) erhält man, wenn man im Primzahlsatz den Ausdruck \(\frac{x}{\mathrm{log}x}\) durch den Integrallogarithmus
ersetzt. Man zeigt nämlich leicht, daß
Genauer noch gibt es eine Konstante C > 0 mit
für x ≥ 2. Damit schreibt sich der Primzahlsatz in der Form π(x) = Li x + r(x),
und für das Restglied r(x) gilt
Basierend auf Ideen von Riemann konnten Hadamard und de la Vallée Poussin 1896 unabhängig voneinander den Primzahlsatz beweisen. Er spielt eine wichtige Rolle bei Untersuchungen zur Primzahlverteilung.
Der klassische Beweis des Primzahlsatzes macht wesentlichen Gebrauch von komplexanalytischen (holomorphen und meromorphen) Funktionen. Man glaubte lange Zeit nicht, daß man ihn auch „elementar“, d. h. ohne komplexe Analysis, beweisen könne, bis 1948 Atle Selberg und Paul Erd os˝ unabhängig voneinander einen solchen „elementaren“ (aber ziemlich komplizierten) Beweis erbringen konnten.
Es wird heute vermutet, daß folgende wesentlich bessere Restgliedabschätzung gilt. Zu jedem ϵ > 0 existiert eine Konstante C(ϵ) > 0 mit
Äquivalent hierzu ist die Riemannsche Vermutung, siehe auch Riemannsche ζ-Funktion.
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