fundamentale Aussage der Funktionentheorie:

Es sei G ⊂ ℂ einGebiet, f eine in G meromorphe Funktion mit endlicher Polstellenmenge P(f) und γ einnullhomologer Weg in G, auf dem keine Polstellen von f liegen. Weiter sei a ∈ ℂ derart, daß f⁻¹ (a) = { ζ ∈ G : f (ζ) = a} eine endliche Menge ist und kein Punkt von f⁻¹ (a) auf γ liegt. Dann gilt\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{{f}^{\prime}(z)}{f(z)-a}dz & = & \displaystyle \sum _{\zeta \in {f}^{-1}(a)}{\text{ind}}_{\gamma }(\zeta )\nu (f,\zeta )\\ & & -\displaystyle \sum _{\omega \in P(f)}{\text{ind}}_{\gamma }(\omega )m(f,\omega ),\end{array}\end{eqnarray}

wobei ind_γ(z) dieUmlaufzahl von γ bezüglich z, ν(f, ζ) die Vielfachheit dera-Stelle ζ, und m(f, ω)diePolstellenordnung von ω bezeichnet.

Die Bezeichnung Prinzip vom Argument hat folgenden Grund. Unter den obigen Voraussetzungen gilt \begin{eqnarray}\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{{f}^{\prime}(z)}{f(z)-a}dz=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{f\circ \gamma }\frac{d\zeta }{\zeta -a}={\text{ind}}_{f\circ \gamma }(a).\end{eqnarray}

Die Umlaufzahl ind_f○γ(a), multipliziert mit 2π, gibt die Gesamtänderung des Arguments (Argument einer komplexen Zahl) von (f (γ(t))−a) an, die entsteht, wenn t das Definitionsintervall von γ durchläuft.

Als Spezialfall des Prinzips vom Argument ergibt sich folgende Anzahlformel für Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion.

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f eine in G meromorphe Funktion mit nur endlich vielen Nullund Polstellen. Weiter sei γ eine rektifizierbareJordan-Kurve, die nullhomolog in G ist, und auf der weder Null- noch Polstellen von f liegen. Dann gilt \begin{eqnarray}\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\frac{{f}^{\prime}(z)}{f(z)}dz=N-P,\end{eqnarray}

wobei N die Anzahl der Nullstellen und P die Anzahl der Polstellen von f im Inneren von γ (Inneres eines geschlossenen Weges) ist. Dabei ist jede Null- bzw. Polstelle entsprechend ihrer Ordnung (Vielfachheit) zu zählen.