Standardtopologie auf dem kartesischen Produkt von topologischen Räumen.

Ist I eine Indexmenge und (X_i, 𝒪_i) für jedes i ∈ I ein topologischer Raum, so ist die Produkttopologie 𝒪 auf X = Π_i∈I X_i wie folgt definiert: Eine Teilmenge O ⊆ X heiße offen, wenn sie Vereinigung von Mengen des Typs Π_i∈I O_i ist, wobei jedes O_i offen in X_i und bis auf endlich viele Indizes sogar O_i = X_i gilt. Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie, welche die Projektionen \begin{eqnarray}{p}_{i}:\displaystyle \prod _{i\in I}{X}_{i}\to {X}_{i}\end{eqnarray}

stetig macht.

Nach dem Satz von Tychonow ist (X, 𝒪) kompakt, wenn alle (X_i, 𝒪_i) kompakt sind.