zentraler Satz der Hilbertraum-Theorie über die Existenz bester approximierender Elemente in einer konvexen Menge eines Hilbertraums.

Sei H ein Hilbertraum und K ⊂ H abgeschlossen, konvex und nicht leer. Zu jedem x ∈ H existiert dann ein eindeutig bestimmtes Element P(x) ∈ K mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}||x-P(x)||=\inf \{||x-y||:y\in K\}.\end{eqnarray}

Auf diese Weise wird eine Abbildung P : H → H mit dem Bild P(H) = K definiert, die Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten 1 ist.

Im Fall eines abgeschlossenen Unterraums K von H ist P linear und eine orthogonale Projektion, der Kern von P ist das orthogonale Komplement K^⊥.

Der Projektionssatz wird zum Beispiel benutzt, um (schwache) Lösungen des Dirichlet-Problems zu finden.