inverser Limes, eine algebraische Konstruktion.

Gegeben seien Gruppen {G_i}_i∈J, indiziert über eine gerichte Menge J (z. B. J = N), und für alle Paare (i, j) mit i ≥ j Gruppenhomomorphismen φ_ji : G_i → G_j, welche die Kompatibilitätsbedingungen

1. φ_ii = id_Gi,
2. falls i ≥ j und j ≥ k, so gilt φ_ik = φ_ij ○ φ_jk

erfüllen. Eine Gruppe G mit Gruppenhomomorphismen {ψ_i : G → G_i}_i∈J heißt projektiver Limes oder inverser Limes des Systems (G_i, φ_ij), falls ψ_j = φ_ji ○ ψ_i für alle i ≥ j gilt, und falls es für jede weitere Gruppe H mit Gruppenhomomorphismen ϑ_i : H → G_i, welche ebenfalls ϑ_j = φ_ji ○ ϑ_i für alle i ≥ j erfüllen, genau einen Gruppenhomomorphismus ϑ : H → G gibt derart, daß ϑ_i = ψ_i ○ ϑ gilt (vgl. Abbildung).

Man schreibt auch \begin{eqnarray}G={\underleftarrow{\mathrm{lim}}}_{i\in J}{G}_{i}=\mathop{\text{proj lim}}\limits_{i\in J}{G}_{i},\end{eqnarray}

wenn klar ist, welche Abbildungen benutzt werden.

Der projektive Limes von Gruppen existiert und ist eindeutig bestimmt. Er ist die Untergruppe des direkten Produkts Π_i∈J G_i der Gruppen G_i, bestehend aus den Elementen (a_i)_i∈J, die die Relation φ_ji(a_i) = a_j für i ≥ j erfüllen. Die Abbildungen φ_i sind gegeben durch die Projektion auf den i-ten Faktor. Die p-adisch ganzen Zahlen ℤ_p ergeben sich

als projektiver Limes \begin{eqnarray}{{\mathbb{Z}}}_{p}={\underleftarrow{\mathrm{lim}}}_{n}{\mathbb{Z}}/{p}^{n}{\mathbb{Z}}.\end{eqnarray}

Die Abbildungen φ_nm für m ≥ n sind gegeben durch die kanonische Abbildung \begin{eqnarray}a\,\mathrm{mod}\,{p}^{m}\to a\,\mathrm{mod}\,{p}^{n}.\end{eqnarray}

In der Definition des projektiven Limes kann man die Gruppen auch durch Objekte aus einer beliebigen Kategorie und die Gruppenhomomorphismen durch Morphismen der Kategorie ersetzen. In dieser Weise erhält man die Definition von projektiven Limites in beliebigen Kategorien. Nicht in allen Kategorien existieren allerdings projektive Limites.

Dreht man in der Definition die Richtung der Abbildungen (d. h. die Pfeile, bzw. die Morphismen in einer Kategorie) um, so erhält man die Definition des direkten oder auch induktiven Limes.