ein R-Modul P über dem kommutativen Ring R, für den zu jeder R-linearen Abbildung h : P → A und jeder surjektiven linearen Abbildung g : B ↠ A eine lineare Abbildung h′ : P → B existiert mit h = g ○ h′.

Hierbei sind A und B ebenfalls R-Moduln. Projektive Moduln sind die projektiven Objekte in der Kategorie der R-Moduln.

Spezielle projektive Moduln sind die freien Moduln P = R^I mit einer Indexmenge I. Sei {e_i, i ∈ I} eine Basis von P, und seien Abbildungen h und g wie oben gegeben. Man ordnet nun e_i unter h′ ein beliebig gewähltes Element aus dem Urbild g⁻¹ (h(e_i)) zu. Die Abbildung ist im allgemeinen nicht eindeutig festgelegt.

Eine äquivalente Definition von projektiven Moduln ist, daß sie direkte Summanden von freien Moduln sind, d. h., P ist projektiv genau dann, wenn es einen weiteren Modul P′ gibt derart, daß P ⊕ P′ ein freier Modul ist.

Die Ideale in einem Dedekindschen Ring sind projektiv. Ein projektiver Modul ist dadurch charakterisiert, daß der Funktor Hom_R(P,₋) exakt ist.

Ein endlich erzeugter Modul M über R ist genau dann projektiv, wenn M endlich präsentierbar und lokal frei ist. Hierbei heißt M lokal frei, falls alle Lokalisierungen M_𝔪 nach maximalen Idealen m von R freie R_𝔪-Moduln sind. In der algebraischen Geometrie entsprechen die endlich erzeugten projektiven Moduln den Vektorbündeln und die freien Moduln den trivialen Vektorbündeln. Die Frage, welche projektive Moduln frei sind, ist deshalb von besonderem Interesse. Es gilt der Satz:

Ist R ein nullteilerfreier Hauptidealring (z. B. ein Körper), so sind alle endlich erzeugten projektiven Moduln über dem Polynomring R[X₁, X₂, …, X_n] freie Moduln.

In der geometrischen Interpretation bedeutet dies, daß über dem affinen Raum Rⁿ alle Vektorbündel trivial sind. Dieser Satz wurde von Serre vermutet und von Quillen und Suslin bewiesen.