ein Konzept zur Berechnung von Assoziationsmaßen in Kontingenztafeln zur Beurteilung der Unabhängigkeit zweier zufälliger Merkmale X und Y.

Zunächst wird eine der beiden Variablen, etwa X, als die von der anderen Variablen (Y) abhängige Variable deklariert. Dann wird die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von X = x einmal ohne Einbeziehung von Y, und einmal mit Einbeziehung der möglichen Werte von Y vorhergesagt, und es werden in beiden Fällen die Fehlerwahrscheinlichkeiten berechnet (geschätzt). Ist die Differenz der beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten gleich 0, so liefert Y keinerlei Unterstützung bei der Vorhersage von X, und X und Y werden als unabhängig betrachtet. Andernfalls können beide nicht als unabhängig voneinander angesehen werden.

Ist es nicht möglich, eine der beiden Variablen als die abhängige zu deklarieren, wird in der Regel zunächst die eine und dann die andere Variable als abhängig angesehen, und das bewichtete Mittel beider Fehlerdifferenzen zur Beurteilung der Unabhängigkeit herangezogen. Typische Assoziationsmaße, die auf dieser Prognosefehlerdifferenz basieren, sind der sogenannte Lambda-Koeffizient und das Goodman- und Kruskal-Tau.

Ein Beispiel. Es soll geprüft werden, ob das Ausüben einer Parteifunktion (X) vom ausgeübten Beruf (Y) abhängt. Dazu wurde eine Stichprobe von 64 Personen erfaßt. Die Umfrageergebnisse sind in folgender Tabelle dargestellt:

Wir berechnen den Lambda-Koeffizienten. Ohne Einbeziehung des Berufes werden wir vorhersagen, daß eine zufällig ausgewählte Person ein Parteiamt ausüben wird, da hier die Häufigkeit mit 56,3% aller Befragten am höchsten ist. Als Vorhersagefehlerwahrscheinlichkeit erhalten wir 43,7%.

Die Vorhersage kann man verbessern, wenn man die andere Variable, also den Beruf Y, mit einbezieht. Bei den Angestellten und den Beamten würde man ein Parteiamt vorhersagen, bei den Selbständigen würde man vorhersagen, daß diese kein Parteiamt ausüben. Bei den insgesamt 64 Personen würde man sich hier in 9 (Angest.) + 2 (Beamte) + 7 (Selbst.) = 18 Fälle irren. Das ergibt eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 18/64 ∗ 100% = 28,1%. Die ursprüngliche Fehlerwahrscheinlichkeit ist also deutlich verbessert worden.

Aus den beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten ergibt sich die relative Fehlerreduktion, auch Lambda genannt: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\text{Lambda} & = & \frac{43,7 \% -28,1 \%}{43,7 \% }\\ & = & 0,357\end{array}\end{eqnarray}

Diese läßt darauf schließen, daß X und Y nicht voneinander unabhängig sind.