die Untersuchung der geometrischen Eigenschaften von pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten, speziell von Kurven und Flächen.

Der Zusatz ’pseudo’ soll diese Klasse von den eigentlichen Riemannschen Mannigfaltigkeiten unterscheiden, deren Metrik positiv definit ist.

Es sei (M, g) eine mit einem metrischen Fundamentaltensor g vom Index k > 0 versehene pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Bogenlänge einer Kurve γ : [a, b] ⊂ ℝ → M ist ebenso wie in der eigentlichen Riemannschen Geometrie durch das Integral \begin{eqnarray}L(\gamma )=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{g\left(\frac{{d}_{\gamma }(\tau )}{{d}_{\tau }},\frac{{d}_{\gamma }(\tau )}{{d}_{\tau }}\right){d}_{\tau }}\end{eqnarray}

definiert. L(γ) kann hier beliebige komplexe Werte annehmen, da der Integrand imaginär werden kann. Der Levi-Civita-Zusammenhang ∇ von (M, g) ist der eindeutig bestimmte torsionsfreie lineare Zusammenhang auf M, für den ∇g = 0 ist. Mit seiner Hilfe werden analog zur eigentlichen Riemannschen Geometrie geodätische Kurven γ(t) durch die Gleichung \({\nabla }_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t)=0\) definiert. Sie sind hier aber nicht mehr im Kleinen Kürzeste, d. h. keine Extremwerte des Funktionals L(γ). Sie bleiben aber stationäre Punkte des Längenfunktionals.

Hat (M, g) den Index n − 1, so ist jedes hinreichend kleine geodätische Segment γ : [a, b] ⊂ ℝ → M mit reeller Länge L(γ) die längste Verbindungskurve zwischen Anfangspunkt A = γ(a) und Endpunkt B = γ(b).