eine mit einem metrischen Fundamentaltensorg vom Index k > 0 versehene differenzierbare Mannigfaltigkeit M.

Die pseudo-Riemannsche Metrik g definiert in jedem Tangentialraum T_x(M) eine nicht ausgeartetete symmetrische Bilinearform ⟨X, Y⟩ = g_x(X, Y). Hat M die Dimension n, und sind Z₁, …, Z_n linear unabhängige, auf einer offenen Menge 𝒰 ⊂ Mⁿ definierte differenzierbare Vektorfelder, so ist die Einschränkung von g auf 𝒰 durch die Funktionen g_ij(x) = g(Z_i(x), Z_j(x)) bestimmt. Die aus diesen Funktionen gebildete Matrix \begin{eqnarray}G(x)={({g}_{ij}(x))}_{ij=1,\mathrm{...},n}\end{eqnarray}

ist die lokale analytische Beschreibung von g.

Die Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, ist äquivalent dazu, daß die Determinante von G ungleich Null ist. Die Eigenwerte von G können als stetige reelle Funktionen auf 𝒰 angesehen werden, die überall ungleich Null sind. Daraus folgt, daß, sofern M topologisch zusammenhängend ist, immer gleich viele Eigenwerte mit positiven bzw. negativen Vorzeichen auftreten. Der Index von g ist gleich der Anzahl der negativen unter diesen Eigenwerten. Er hängt nicht von der Wahl der Basis Z₁, …, Z_n ab. Sind X und Y zwei auf 𝒰 definierte Felder von Tangentialvektoren, die in der Basis Z₁, …, Z_n die Darstellungen \(X=\displaystyle {\sum}_{i=1}^{n} {\xi }^{i}{Z}_{i}\) bzw. \(Y=\displaystyle {\sum}_{i=1}^{n} {\eta }^{j}{Z}_{j}\) als Linearkombinationen haben, so ist \begin{eqnarray}\langle X,Y\rangle =\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{g}_{ij}{\xi }^{i}{\eta }^{j}.\end{eqnarray}

Im Gegensatz zur eigentlichen Riemannschen Geometrie existieren pseudo-Riemannsche Metriken nicht auf allen Mannigfaltigkeiten. Die Eulersche Charakteristik χ(M) einer kompakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist die alternierende Summe \begin{eqnarray}\chi (M)=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{(-1)}^{i}{B}_{i}\end{eqnarray}

der Betti-Zahlen B_i. B_i ist der Rang der i-ten singulären Homologiegruppe H_i(M) von M. Die Zahl χ(M) ist genau dann gleich Null, wenn auf M ein Vektorfeld X existiert, das nirgenwo verschwindet. Der Satz vom Igel besagt z. B., daß die zweidimensionale Sphäre S² ⊂ ℝ³ diese Eigenschaft nicht hat. Das Verschwinden von χ(M) ist dann auch notwendig und hinreichend für die Existenz eines 1-dimensionalen Richtungsfeldes, d. h., eines stetigen Feldes 1-dimensionaler linearer Unteräume \({E}_{x}^{1}\subset {T}_{x}(M)\) der Tangentialräume T_x(M), (x ∈ M). Existiert auf M eine pseudo-Riemannsche Metrik vom Index 1, dann existiert auch ein 1-dimensionales Richtungsfeld von lichtartigen Unteräumen. Das zeigt eine Beziehung zwischen der Existenz einer pseudo-Riemannschen Metrik vom Index 1 und der Eulerschen Charakteristik χ(M).

Auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M existieren pseudo-Riemannsche Metriken vom Index 1 genau dann, wenn χ(M) = 0 ist.

Aus einer Riemannschen Metrik g auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M und einem Einheitsvektorfeld E auf M (g(E, E) = 1) gewinnt man eine quadratische FormQ vom Index 1 durch \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}Q(X)= & g{(X-Eg(X,E),X-Eg(X,E))}^{2}\\ & -g{(X,E)}^{2}.\end{array}\end{eqnarray}