komplexes Analogon einespseudoeuklidischen Raumes.

Ein mit einer i. allg. indefiniten nicht ausgearteten Hermiteschen Bilinearform B(\({{\mathfrak{x}}}\), 𝔶) versehener Vektorraum V über dem Körper ℂ der komplexen Zahlen heißt pseudounitärer Raum. Unter einer Hermiteschen Bilinearform versteht man eine Abbildung B : V ×V → ℂ mit folgenden Eigenschaften:

• B(λ \({{\mathfrak{x}}}\)₁ + μ \({{\mathfrak{x}}}\)₁, 𝔶) = λB(\({{\mathfrak{x}}}\)₁, 𝔶) + μB(\({{\mathfrak{x}}}\)₂, 𝔶) für alle \({{\mathfrak{x}}}\)₁, \({{\mathfrak{x}}}\)₂, 𝔶 ∈ V und λ, μ ∈ ℂ (Linearität im 1. Argument).
• \(B({\mathfrak{x}},{\mathfrak{y}})=\overline{B({\mathfrak{y}},{\mathfrak{x}})}\) für alle \({{\mathfrak{x}}}\), 𝔶 ∈ V, d. h., an die Stelle der bei symmetrischen Bilinarformen geforderten Symmetrie tritt beim Vertauschen der Argumente Übergang zum konjugiert komplexen Wert.
• Ist \({{\mathfrak{x}}}\) ∈ V fest gewählt, so gilt B(\({{\mathfrak{x}}}\), 𝔶) = 0 für alle anderen 𝔶 ∈ V dann und nur dann, wenn \({{\mathfrak{x}}}\) = 0 (Nichtausgeartetsein).

Diese Bedingungen definieren Hermitesche Bilinearformen als eine Variante des Begriffs der symmetrischen Bilinearform. Da sie nur im ersten Argument linear sind und statt dessen im zweiten Argument die Identität \begin{eqnarray}B({\mathfrak{x}},\mu \text{}{{\mathfrak{y}}}_{1}+\lambda {{\mathfrak{y}}}_{2})=\overline{\lambda }B({\mathfrak{x}},{{\mathfrak{y}}}_{1})+\overline{\mu }B({\mathfrak{x}},{{\mathfrak{y}}}_{2})\end{eqnarray}

erfüllen, nennt man sie auch \(1\frac{1}{2}\) -fach linear.

Ist V von endlicher Dimension n, so kann man durch Wahl einer geeigneten Basis 𝔢₁, …, 𝔢_n von V erreichen, daß B durch \begin{eqnarray}B({\mathfrak{x}},{\mathfrak{y}})=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\varepsilon }_{i}{x}_{i}{\overline{y}}_{i}\end{eqnarray}

gegeben ist, wobei \({\mathfrak{x}}=\displaystyle {\sum}_{i=1}^{n} {x}_{i}{{\mathfrak{e}}}_{i},{\mathfrak{y}}=\displaystyle {\sum}_{i=1}^{n} {y}_{i}{{\mathfrak{e}}}_{i}\) gilt und ϵ_i die Werte ±1 annimmt. Bezeichnet man mit s₊ und s₋ die Anzahl der positiven bzw. negativen Koeffizienten ϵ_i, so nennt man das Paar (s₊, s₋) die Signatur von B. Eine Basis 𝔢₁, …, 𝔢_n mit dieser Eigenschaft heißt pseudounitär. Meistens wird sie so angeordnet, daß die s₊ Vektoren der Länge +1 vorn stehen. Bezeichnet δ_ij die Elemente der n-dimensionalen Einheitsmatrix, so ist eine pseudounitäre Basis durch B(𝔢_i, 𝔢_j) = δ_ij ϵ_i. (i, j = 1, …, n) charakterisiert.