Lexikon der Mathematik: Quasi-Interpolation
verallgemeinerte Interpolationsmethoden, welche auf der Verwendung von linearen Funktionalen beruhen.
Es sei l ∈ ℕ, K eine kompakte Teilmenge von ℝl, m ∈ ℕ0, Cm (K) der Raum der m-fach differenzierbaren Funktionen auf K, und \({\mathcal{S}}\) ⊆ Cm (K) ein n-dimensionaler Teilraum, welcher eine Basis {Bi : i = 1,…,n} mit lokalem Träger besitzt.
Für geeignete lineare Funktionale λi : Cm (K) ↦ ℝ, i = 1,…,n, also Funktionale mit
für alle α, β ∈ ℝ und f, g ∈ Cm (K), definiert man einen Quasi-Interpolationsoperator Q : Cm (K) ↦ \({\mathcal{S}}\) durch eine Vorschrift der Form
Die linearen Funktionale λi können hierbei beispielsweise aus (endlichen) Linearkombinationen von Funktionswerten und Ableitungen von f an verschiedenen, geeignet gewählten Stellen ti ∈ K gebildet werden.
Quasi-Interpolanten spielen insbesondere in der Theorie der Splinefunktionen eine bedeutende Rolle, und werden zum Nachweis von Eigenschaften von Splineräumen in der Spline-Approximation verwendet.
Die klassischen Operatoren dieser Art sind Quasi-Interpolanten für univariate Splines vom Schoenberg-Typ, das heißt, es gelten λi (f) = f (xi), i = 1,…,n, und
wobei für vorgegebene, aufsteigend sortierte Knoten xi, Bi den i-ten B-Spline vom Grad m bezeichnet, welcher (m − 1)-fach differenzierbar ist. Ist Q(f) der Schoenberg-Operator und f eine beliebige stetige Funktion auf [a, b], so gilt die folgende Fehlerabschätzung in der Maximumnorm:
wobei ω(f, h) der Stetigkeitsmodul von f ist, und
Um approximierende Quasi-Interpolanten von großer Genauigkeit zu konstruieren, ist die Eigenschaft der Reproduktion von Polynomen von Bedeutung, das heißt, es soll Q(p) = p für alle Polynome p vom Grad r mit r ≤ m gelten.
Durch Verwendung eines von C. deBoor und G. J. Fix im Jahr 1973 erstmalig definierten Quasi-Interpolanten kann man nachweisen, daß univariate Splineräume stets optimale Approximationsordnung besitzen. Hierbei geht man von normalisierten B-Splines Ni aus, und setzt für geeignete ti und f ∈ Cm [a, b]
wobei \({\omega }_{i}^{(m-j)}\) die (m − j)-te Ableitung des Polynoms
ist. Der zugehörige Quasi-Interpolationsoperator reproduziert den ganzen Splineraum, d. h., Q(Ni) = Ni, i = 1,…,n, und es gilt
wobei K > 0 eine nur von m abhängige Konstante ist.
Für bivariate Splines, welche hinsichtlich einer vorgegebenen Triangulierung eines Grundbereichs K in der Ebene definiert sind, gilt im allgemeinen keine optimale Approximationsordnung. Jedoch hat man in den letzten Jahren mit Hilfe von Quasi-Interpolanten und (echten) Interpolanten Klassen von solchen Splineräumen bestimmen können, für welche (optimale) Approximationsordnung gilt. Bei der Konstruktion von Quasi-Interpolanten für bivariate Splines verwendet man gewisse lineare Funktionale, welche sich direkt aus sogenannten minimal bestimmenden Mengen ergeben. Minimal bestimmende Mengen bestehen aus gewissen Koeffizienten in der Bernstein-Bézier-Darstellung der polynomialen Stücke, die den Spline eindeutig festlegen.
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