Garbe mit zusätzlicher Eigenschaft.

Es sei X ein \({\mathcal{F}}\) Schema und \({\mathcal{F}}\) eine Garbe von 𝒪_X – Moduln. Diese heißt quasikohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung {U_α} von X gibt, so daß \begin{eqnarray}{\mathcal{O}}_{{U}_{\alpha }}{\otimes }_{{A}_{\alpha }}{M}_{\alpha }\to {\mathcal F} |{U}_{\alpha }\end{eqnarray}

(mit A_α = 𝒪_X (U_α), M_α = \({\mathcal{F}}\)(U_α)) ein Isomorphismus ist.

Wenn X = Spec(A) ein affines Schema ist, so ist der Funktor, der jedem A-Modul M die Garbe \(\tilde{M}\) = 𝒪_X ⊗_A M zuordnet, eine Äquivalenz der Kategorie der A-Moduln mit der Kategorie der quasikohärenten Garben auf X, der dazu inverse Funktor ist durch \({\mathcal{F}}\) ↦ \({\mathcal{F}}\)(X) gegeben. Für offene Mengen der Form D(f) = U ist \(\tilde{M}\)(U) = M_f.

Für projektive Schemata X = Proj(S) (projektives Spektrum) erhält man auf ähnliche Weise jede quasikohärente Garbe aus einem graduierten S-Modul M• in der Form \( {\mathcal F} =\tilde{M}\). Hierbei ist \(\tilde{M}\) • die Garbe, deren Schnitte auf offenen Mengen der Form U = D₊ (f) durch \(\tilde{M}\cdot (U)=M{\cdot }_{(f)}\subset M{\cdot }_{f}\) gegeben sind, wobei M_•(f) die Menge \begin{eqnarray}\left\{\frac{m}{{f}^{n}};m\in M\cdot \text{homogen, deg}(m)=n\deg (f)\right\}\end{eqnarray}

bezeichnet.

Da die Mengen D₊ (f) (f ∈ S homogen) eine Basis der Topologie bilden, ist \(\tilde{M}\) • dadurch bestimmt. Beispielsweise ist \({{\mathcal{O}}}_{X}(n)=\tilde{S}(n)\cdot \), wobei S(n)• der Modul S mit der neuen Graduierung S(n)_k = S_n+k ist. Definiert man \begin{eqnarray}\Gamma \cdot ( {\mathcal F} )=\mathop{\oplus }\limits_{n\in {\mathbb{Z}}}( {\mathcal F} {\otimes }_{{{\mathcal{O}}}_{X}}(n))(X),\end{eqnarray}

so erhält man einen graduierten S-Modul, und Γ • (F)^~ ≅ \({\mathcal{F}}\).

Für Morphismen f : X′ → X und quasikohärente Garben \({\mathcal{F}}\) auf X ist die Garbe f^∗\({\mathcal{F}}\) quasikohärent auf X′. Ebenso ist unter gewissen Voraussetzungen über f das direkte Bild f_∗\({\mathcal{F}}\)′ einer quasikohärenten Garbe auf X′ wieder quasikohärent.