eine vierdimensionale Algebra über einem Körper 𝕂, die spezielle Eigenschaften besitzt.

Zum einen versteht man darunter die vierdimensionale reelle Hamiltonsche Quaternionenalgebra, zum anderen aber auch die folgenden Verallgemeinerungen. Die Quaternionenalgebra A ist eine vierdimensionale Algebra über einem Körper 𝕂, falls A eine Basis (e, i, j, k) besitzt, derart, daß e das Einselement der Multiplikation ist, und die Multiplikation der restlichen Basiselemente durch das Multiplikationsschema

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\text{i}}^{2}=\alpha \text{e}+\beta \text{i}, & \text{ij}=\text{k}, & \text{ik}=\alpha \text{j}+\beta \text{k},\\ \text{ji}=\beta \text{j}-\text{k}, & {\text{j}}^{2}=\gamma \text{e} & \text{jk}=\beta \gamma \text{e}-\gamma \text{i},\\ \text{ki}=-\alpha \text{j}, & \text{kj}=\gamma \text{i}, & {\text{k}}^{2}=-\alpha \gamma \text{e}\end{array}\end{eqnarray}

(mit α, β, γ ∈ 𝕂) gegeben ist. Diese Quaternionenalgebra heißt vom Typ (α, β, γ).

Ist der Grundkörper 𝕂 = ℝ und gilt α = γ = −1, β = 0, so erhält man die Algebra der Hamiltonschen Quaternionen.

Jede Quaternionenalgebra vom Typ (1, 0, γ) ist isomorph zur Matrizenalgebra der (2 × 2)-Matrizen M₂(𝕂). Die Quaternionenalgebren vom Typ (α, 0, γ) und (αs², 0, γt²) mit s, t ∈ 𝕂 und s ≠ 0, t ≠ 0 sind isomorph. Insbesondere ist über ℂ die Quaternionenalgebra vom Typ (−1, 0, 1) ebenfalls isomorph zu M₂(ℂ).